《云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型③ 等腰三角形存在性问题探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型③ 等腰三角形存在性问题探究（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页类型等腰三角形存在性问题探究,备考攻略)1某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形2动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形1动点坐标与动线段长度的转化不能较好理解2分类讨论不清，答案不全首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点(若某边为底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程，解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能
2、构成三角形这个题意) 1一个动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形2某函数图象上或抛物线对称轴上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形：抛物线上或对称轴上的动点与抛物线与坐标轴交点构成等腰三角形3坐标轴上的动点与两定点构成等腰三角形4两个动点与一个定点构成等腰三角形 ,典题精讲)等腰三角形存在性问题探究【例 1】已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm，对角线 AC，BD 交于点 O.点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动时 ，另一个点
3、也停止运动连接PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F.设运动时间为 t(s)(0t6)，解答下列问题：(1)当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？(2)设五边形 OECQF 的面积为 S(cm2)，试确定 S 与 t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S 五边形 OECQFS ACD 916？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)根据矩形的性质和勾股定理得到 AC10，当 APPOt，如图，过点 P 作 PMAO 于点 M，根据相似三角形的性质得到 APt ，当 APAOt5，258第 2 页进而得到结论；(
4、2)过点 O 作 OHBC 交 BC 于点 H，已知 BEPD，则可求BOE 的面积，可证得DFQ DOC，由相似三角形的面 积比可求得DFQ 的面积，从而可求五边形OECQF 的面积；(3) 计算ACD 的面积，结合上步已得五 边形 OECQF 的面积，可得24916，解之即可确定 t 的值( 13t2 32t 12)图【答案】解：(1)在矩形 ABCD 中，AB 6 cm，BC8 cm ，AC10 cm，当 APPOt，如图，过点 P 作 PMAO 于点 M，AM AO AC ，12 14 52PMA ADC90， PAMCAD，APM ACD， ，APAC AMADAPt ，258当 A
5、PAOt5，当 t 为 或 5 时，AOP 是等腰三角形；258图(2)如图，过点 O 作 OHBC 于点 H，则 OH CD AB3 cm ，12 12四边形 ABCD 为矩形，ADBC，PDO EBO ，DOBO，又POD EOB，POD EOB ，BEPD8 t.第 3 页S BOE BEOH 3(8t)12 t.12 12 32QFAC ，DFQ DOC， ，DQDC t6 .S DFQS DOC t236S DOC S 矩形 ABCD 682.14 14S DFQ 12 ，t236 t23S 五边形 OECQFS DBC S BOE S DFQ 68 t12，12 (12 32t)
6、t23 t23 32S 与 t 的函数关系式为 S t2 t12；13 32(3)存在，S ACD 6824，12S 五边形 OECQFS ACD 24916，( 13t2 32t 12)解得 t3 或 t ，32t3 或 时，S 五边形 OECQFS ACD 916.32【例 2】如图，抛物线 yax 2bx3(a0)的顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，且 BOOC3AO，直线 y x1 与 y 轴交于点 D.13(1)求抛物线的解析式；(2)证明：DBOEBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是等腰三角形？若存在 ，请直接写出符合条件的
7、 P 点坐标，若不存在，请说明理由【解析】(1)先求出点 C 的坐标，再由 BOOC3AO，确定出点 B，A 的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先求出点 A，B ，C，D，E 的坐标，从而求出 BC3第 4 页， BE2 ， CE ，OD 1，OB3，BD ，求出比值，得到 得出2 5 2 10CEOD BCOB BEBD结论；(3)设出点 P 的坐标，表示出 PB，PC，求出 BC，分三种情况计算即可【答案】解：(1)抛物线 yax 2bx3，c3，C(0，3)，OC3，BOOC 3AO，BO3，AO1，B(3，0)，A( 1，0)，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点， 解得
8、9a 3b 3 0，a b 3 0， ) a 1，b 2， )抛物线解析式为 yx 22x3，(2)作 EFx 轴于点 F，CGEF 于点 G.由(1)知，抛物线解析式为 yx 22x3(x 1) 24，E(1，4) B(3，0)，A( 1，0)，C(0，3) ，OB3，OC3，EF 4.又EFx 轴，CGEF ，CG1，EG1，BF2，BC 3 ，BE 2 ，CE .OB2 OC2 2 BF2 EF2 5 CG2 GE2 2直线 y x1 与 y 轴交于点 D，13D(0， 1)B(3，0)，OD1，OB3，BD ，OD2 OB2 10 ， ， ，CEOD 2 BCOB 2 BEBD 2 ，
9、CEOD BCOB BEBDDBOEBC；(3)存在符合条件的 P 点坐标为(1，1)或(1， )或(1 ， )或(1，3 )或(1，314 14 17)17如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0) ，C(0，2)三点第 5 页(1)求抛物线的解析式；(2)若直线 l 是抛物线的对称轴，设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在线段 AB 上是否存在点 M(m，0) ，使得以线段 CM 为直径的圆与边 BC 交于 Q 点(与点 C 不同)，且以点 Q，B ，O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在 ，求出 m 的值；若不存在，请
10、说明理由解：(1)抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0) ，B(4，0) ，C(0，2)三点， 解得a b c 0，16a 4b c 0，c 2， ) a 12，b 32，c 2， )抛物线的解析式为 y x2 x2；12 32图(2)如图，抛物线的对称轴是直线 x .32连接 BC，当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D.B(4，0)，C(0，2)OB4，OC2.又OD ，BD .32 52ly 轴， ，BDBO PDOC第 6 页PD .BDOCBO 54点 P 的坐标为 .(32， 54)(3)存在，过点 Q 作 Q
11、MBC 于点 Q，交 AB 于点 M，如图 ，图则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点 Q 在以 CM 为直径的圆上，A( 1，0) ， B(4，0)，C(0，2) ，OA1，OB4，OC2.AC ，OA2 OC2 5BC 2 ，AB5，OB2 OC2 5AB 2AC 2BC2，ABC 是直角三角形，ACB90，AC BC，又MQBC，QMAC ，BMQBAC. ，BQBC BMABM(m，0)，BM 4m.当 QBQO 时，BOC90，QBQOQC BC ，12 5 ，m .525 4 m5 32当 BQBO 时，BQ 4. ，m42 .425 4 m5 5当 OBOQ 时，OQ4，第 7 页OC2，OQOC，点 Q 在 BC 的延长线上，又QMAC ，点 M 在 AB 的延长线上，不在线段 AB 上，不符合题意，此时点 M 不存在综上所述，m 的值为 或 4 2 .32 5
