《云南中考数学《专项三:压轴题》精讲教学案类型③ 等腰三角形存在性问题探究》由会员分享,可在线阅读,更多相关《云南中考数学《专项三:压轴题》精讲教学案类型③ 等腰三角形存在性问题探究(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页类型等腰三角形存在性问题探究,备考攻略)1某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形2动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形1动点坐标与动线段长度的转化不能较好理解2分类讨论不清,答案不全首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点(若某边为底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程,解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能
2、构成三角形这个题意) 1一个动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形2某函数图象上或抛物线对称轴上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形:抛物线上或对称轴上的动点与抛物线与坐标轴交点构成等腰三角形3坐标轴上的动点与两定点构成等腰三角形4两个动点与一个定点构成等腰三角形 ,典题精讲)等腰三角形存在性问题探究【例 1】已知:如图,在矩形 ABCD 中,AB6 cm,BC8 cm,对角线 AC,BD 交于点 O.点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动,速度为 1 cm/s;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1 cm/s;当一个点停止运动时 ,另一个点
3、也停止运动连接PO 并延长,交 BC 于点 E,过点 Q 作 QFAC,交 BD 于点 F.设运动时间为 t(s)(0t6),解答下列问题:(1)当 t 为何值时,AOP 是等腰三角形?(2)设五边形 OECQF 的面积为 S(cm2),试确定 S 与 t 的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t,使 S 五边形 OECQFS ACD 916?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由【解析】(1)根据矩形的性质和勾股定理得到 AC10,当 APPOt,如图,过点 P 作 PMAO 于点 M,根据相似三角形的性质得到 APt ,当 APAOt5,258第 2 页进而得到结论;(
4、2)过点 O 作 OHBC 交 BC 于点 H,已知 BEPD,则可求BOE 的面积,可证得DFQ DOC,由相似三角形的面 积比可求得DFQ 的面积,从而可求五边形OECQF 的面积;(3) 计算ACD 的面积,结合上步已得五 边形 OECQF 的面积,可得24916,解之即可确定 t 的值( 13t2 32t 12)图【答案】解:(1)在矩形 ABCD 中,AB 6 cm,BC8 cm ,AC10 cm,当 APPOt,如图,过点 P 作 PMAO 于点 M,AM AO AC ,12 14 52PMA ADC90, PAMCAD,APM ACD, ,APAC AMADAPt ,258当 A
5、PAOt5,当 t 为 或 5 时,AOP 是等腰三角形;258图(2)如图,过点 O 作 OHBC 于点 H,则 OH CD AB3 cm ,12 12四边形 ABCD 为矩形,ADBC,PDO EBO ,DOBO,又POD EOB,POD EOB ,BEPD8 t.第 3 页S BOE BEOH 3(8t)12 t.12 12 32QFAC ,DFQ DOC, ,DQDC t6 .S DFQS DOC t236S DOC S 矩形 ABCD 682.14 14S DFQ 12 ,t236 t23S 五边形 OECQFS DBC S BOE S DFQ 68 t12,12 (12 32t)
6、t23 t23 32S 与 t 的函数关系式为 S t2 t12;13 32(3)存在,S ACD 6824,12S 五边形 OECQFS ACD 24916,( 13t2 32t 12)解得 t3 或 t ,32t3 或 时,S 五边形 OECQFS ACD 916.32【例 2】如图,抛物线 yax 2bx3(a0)的顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A,B两点,与 y 轴交于点 C,且 BOOC3AO,直线 y x1 与 y 轴交于点 D.13(1)求抛物线的解析式;(2)证明:DBOEBC;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PBC 是等腰三角形?若存在 ,请直接写出符合条件的
7、 P 点坐标,若不存在,请说明理由【解析】(1)先求出点 C 的坐标,再由 BOOC3AO,确定出点 B,A 的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出点 A,B ,C,D,E 的坐标,从而求出 BC3第 4 页, BE2 , CE ,OD 1,OB3,BD ,求出比值,得到 得出2 5 2 10CEOD BCOB BEBD结论;(3)设出点 P 的坐标,表示出 PB,PC,求出 BC,分三种情况计算即可【答案】解:(1)抛物线 yax 2bx3,c3,C(0,3),OC3,BOOC 3AO,BO3,AO1,B(3,0),A( 1,0),该抛物线与 x 轴交于 A,B 两点, 解得
8、9a 3b 3 0,a b 3 0, ) a 1,b 2, )抛物线解析式为 yx 22x3,(2)作 EFx 轴于点 F,CGEF 于点 G.由(1)知,抛物线解析式为 yx 22x3(x 1) 24,E(1,4) B(3,0),A( 1,0),C(0,3) ,OB3,OC3,EF 4.又EFx 轴,CGEF ,CG1,EG1,BF2,BC 3 ,BE 2 ,CE .OB2 OC2 2 BF2 EF2 5 CG2 GE2 2直线 y x1 与 y 轴交于点 D,13D(0, 1)B(3,0),OD1,OB3,BD ,OD2 OB2 10 , , ,CEOD 2 BCOB 2 BEBD 2 ,
9、CEOD BCOB BEBDDBOEBC;(3)存在符合条件的 P 点坐标为(1,1)或(1, )或(1 , )或(1,3 )或(1,314 14 17)17如图,抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0),B(4,0) ,C(0,2)三点第 5 页(1)求抛物线的解析式;(2)若直线 l 是抛物线的对称轴,设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标;(3)在线段 AB 上是否存在点 M(m,0) ,使得以线段 CM 为直径的圆与边 BC 交于 Q 点(与点 C 不同),且以点 Q,B ,O 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在 ,求出 m 的值;若不存在,请
10、说明理由解:(1)抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0) ,B(4,0) ,C(0,2)三点, 解得a b c 0,16a 4b c 0,c 2, ) a 12,b 32,c 2, )抛物线的解析式为 y x2 x2;12 32图(2)如图,抛物线的对称轴是直线 x .32连接 BC,当点 P 落在线段 BC 上时,PAPC 最小,PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D.B(4,0),C(0,2)OB4,OC2.又OD ,BD .32 52ly 轴, ,BDBO PDOC第 6 页PD .BDOCBO 54点 P 的坐标为 .(32, 54)(3)存在,过点 Q 作 Q
11、MBC 于点 Q,交 AB 于点 M,如图 ,图则根据直径所对圆周角是直角的性质,知点 Q 在以 CM 为直径的圆上,A( 1,0) , B(4,0),C(0,2) ,OA1,OB4,OC2.AC ,OA2 OC2 5BC 2 ,AB5,OB2 OC2 5AB 2AC 2BC2,ABC 是直角三角形,ACB90,AC BC,又MQBC,QMAC ,BMQBAC. ,BQBC BMABM(m,0),BM 4m.当 QBQO 时,BOC90,QBQOQC BC ,12 5 ,m .525 4 m5 32当 BQBO 时,BQ 4. ,m42 .425 4 m5 5当 OBOQ 时,OQ4,第 7 页OC2,OQOC,点 Q 在 BC 的延长线上,又QMAC ,点 M 在 AB 的延长线上,不在线段 AB 上,不符合题意,此时点 M 不存在综上所述,m 的值为 或 4 2 .32 5