《高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 平面向量 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 平面向量 新人教a版必修4（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第二讲、平面向量一、向量的基本概念1，向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：1）字母表示： ar， ABu, 2）几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3，向量的基本概念1)模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作 ar2)零向量：长度为 0 的向量 3)单位向量：长度为 1 的向量共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作 /abr。相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。二、平面的线性运算向量的加法1）加法法则（1）平行四边形法则：共起点 （2）三角形法则：首尾相连
2、ABCDurrABCurr2）相关结论（1） ababrrr（2） abrr（3） abcrr2，向量的减法减法法则 三角形法则：共起点。2ABCurr3，数乘运算1）定义：规定实数 与向量 ar的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做 ar。长度与方向规定如下：（1） r（2）当 0时，r的方向与 的方向相同；当 0时， ar的方向与r的方向相反2）相关结论：（1） arr（ 2） arr（3） b（4） 03）向量共线定理： ar为非零向量，则 /abarr（ 为唯一确定的实数）4）三点共线问题：若 A、B、C 三点共线 /ABCuur或推论：若 Omnurur，则 A、B、C 三点共
3、线 1mn三、平面向量基本定理及坐标表示1，平面向量基本定理1）平面向量基本定理：如果 1eur， 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ar，有且只有一对实数 ,，使 12aeru2）基底：不共线的两个向量 1er， 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3）向量共线定理的推论：若 12aerur， 212beur，则 121/abr（交叉相乘，积相等）4）向量的夹角：作 ,OAaB，则 AO叫做向量 ar与 b的夹角。显然 0,8o，当 0o时，r， 同向；当 80o时， ， 反向，当
4、90o时，称 ar，3br垂直，记作 abr。5）三点共线的充要条件： ,PAB三点共线 (xy1)OPxABurur且2，平面向量的正交分解及坐标表示1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐标表示：取分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ir、 j作为基底，对于平面内的一个向量 ar，则 ijr。我们将有序数对 ,xy叫做向量 a的坐标，记作 ar ,xy。四、平面向量的数量积1，数量积的定义：两个非零向量 ar， b，我们把数量 cosbr叫做向量r与 b的数量积，记作abr，其中 是向量r， 的夹角。特别地，我们把 a叫做 在 方向上的
5、投影。2，数量积的几何意义：数量积rg等于 的长度r与 在 的方向上的投影 cosr的乘积。3，运算律：1） abrr2） abr r abr3） abr br4，相关结论：1） 0r2） 0rr3）2r4） rrg5） 2abab 6） abab5，数量积的坐标表示：若r 1,xy，r 2,xy，则 12xyrg6，坐标运算的相关结论1）若 ar ,，则 2ar2）若 1xy， b 2,xy，则 120abxyr3） 122cosarg五、向量与三角形的“四心”已知点 P 是三角形所在平面内的一点，1）若 0ABCurr，则点 P 是三角形 ABC 的重心；2）若 Aur，则点 P 是三角形
6、 ABC 的垂心；43）若 22PABCurur，则点 P 是三角形 ABC 的外心；4）令 ,cab若 0ABcCrur，则点 P 是三角形 ABC 的内心。考向 1 向量的定义与性质【例 1】下列命题中正确的是()A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行变式 1设向量 a(1，3)， b(2,4)，若表示向量 4a、3 b2 a、 c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c()A(4,6) B(4，6) C(4，6
7、) D(4,6)变式 2向量 (7，5)，将 按向量 a(3,6)平移后得向量 ，则 的坐标形式为()AB AB A B A B A(10,1) B(4，11)C(7，5) D(3,6)考向 2 向量的加减法【例 2】若 a0， b0，且| a| b| a b|，则 a 与 a b 所在直线的夹角是_考向 3 平面向量基本定理【例 3】如图所示，在 ABC 中，点 M 为 AB 的中点，且 AN NC， BN 与 CM 相交于点 E，设 a，12 AB b，试以 a， b 为基底表示 .AC AE 考向 4 判断三角形形状【例 4】已知 ABC 中， a， b，当 ab 满足下列条件时，能确定
8、 ABC 的形状吗？AB AC (1)ab0.变式 1： O是 所在的平面内的一点，且满足 0OBCAurru，则 BC 一定5为A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形变式 2.在ABC 中，已知 ,4ACB且 ,8AB则这个三角形的形状是 .考向 5 平面向量的数量积运算【例 5】已知| a|6，| b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60，求 ( a + 2b)(a 3b) 变式 1：已知| a|3，| b| 4 且 a 与 b 不共线， k 为何实数时，向量 a + kb 与 a kb 互相垂直？变式 2：已知 e1， e2是两个非零不共线的向量， a2 e1 e2， b
9、 ke1 e2，若 a 与 b 是共线向量，求实数 k 的值考向 6 投影【例 6】已知 3|a， 5|b，且 12a，则向量a在向量 b上的投影为_考向 7 平面向量数量积的运算：【例 7】已知 ， 4，且 与 b不共线， k为何值时，向量 k与 a b的夹角为钝角。变式 1 已知 (6,2)ar， (3,)bmr，当 为何值时，（1） 与 的夹角为钝角？（2） ar与 b的夹角为锐角？考向 8 三角形的四心【例 8】已知 A、 B、 C 三点不共线， O 是 ABC 内的一点，若 OA B C0，则 O 是 ABC 的（ ）A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心变式 1P 是 所在平面内一点，若 PABPA ，则 P 是 B的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心考向 9 定比分点【例 9】如图，设点 P、 Q 是线段 AB 的三等分点，若 OAur a， Br b，则 OPur ，OQur (用 a、b 表示)611
