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1、1摘 要中国是一个人口大国，人口问题是制约其发展的关键因素之一。由于中国20世纪5060 年代人口政策方面的失误，造成人口总数增长过快。快速增长的人口总数给中国的社会经济发展带来了巨大压力，影响了社会经济发展的速度 ，妨碍了人民生活水平的提高。建立微分方程人口控制模型，采用实际人口数据，利用MATLAB 数学软件和数值计算方法对中国人口增长趋势和年龄结构变化做出预测和分析，为政府制定正确的相关政策提供科学理论依据。关键词：人口问题；控制人口数量模型；计划生育；Matlab中国是一个人口大国，人口问题是制约其发展的关键因素之一。由于中国20世纪5060 年代人口政策方面的失误，造成人口总数增长过
2、快。快速增长的人口总数给中国的社会经济发展带来了巨大压力，影响了社会经济发展的速度 ，妨碍了人民生活水平的提高。经过30多年的努力，中国人口的增长速度得到有效控制。但是对人口出生率的严格控制导致人口老龄化问题严重。中国不仅是世界上人口数量最多的国家，也变成老年人口数量最多的国家。因此，随着中国人口年龄结构老化的到来，正确认识中国人口老化发展的趋势以及将会产生的社会经济后果至关重要。政府在制定社会保障政策时，必须考虑到未来中国人口老化的客观事实。面临这样的现实问题，人类必须进行自我控制，既要采取必要的措施抑制过快的人口增长率，又要使人口的年龄结构有一个合理的分布。而要实现以上目标必须建立人口预测
3、的数学模型, 本文采用实际人口数据，利用 MATLAB 数学软件和数值计算方法对中国人口增长趋势和年龄结构变化做出预测和分析，为政府制定正确的相关政策提供科学理论依据。针对近年来我国的人口总数仍持续增高，老龄化进程加速从而导致抚养比在不断提高，对社会保障系统和公共服务体系的压力加大，并影响到社会代际关系的和谐。我们急需要研究中国人口发展问题，预测中国人口数量的发展趋势和老龄化趋势，调整计划生育政策，控制人口数量和老龄化。判断一地区是否进入“老龄化社会”的国际通用标准是：65 岁以上的人口比率是否超过总人口的 7%或 60 岁以上的人口比率是否超过总人口的10%。 1995 年，联合国的调查报告
4、显示，中国已经成为世界老年人口数量最多的国家，60 岁以上的人口数占世界老龄人口总数的 1/3，占亚洲老龄人口总数的 1/2。我国第六次人口普查结果显示，截止到 2010 年底，我国 60 岁以上人口已经达到 1.78 亿，占总人口的 13.26%。2011 年，人口学界辩证认识和客观考察了老龄化问题。 我国是在经济不发达的情况下提前进入了老龄化，即“未富2先老” ，由于生产力不发达，社会财富不充足，经济实力与物质基础比较薄弱，因此解决众多的养老问题还需要雄厚的物质基础和条件。现阶段，我国应实行计划生育政策，控制中国人口数量和老龄化趋势。人口预测模型的研究一般公认是从 John Graunt
5、(1662) 发表的死亡表的观察开始，John Graunt 在死亡表中引入了特定年龄组人口的存活率，用来预测未来各年份总人口数和老年人口数的变动趋势，开创了人口预测的先河。円本人口学家大渊宽（Ueda Masao)和瑞典人口学家 G.桑德巴格（GrstavSundbarg ) 等都对人口老龄化问题进行了深入的研究，其中 g.桑德巴格(1994)用全球人口总和生育率立即下降至并始终维持在更替水平的假设条件来预测总人口数。Heuveline (2001)研究综合生育率立即下降至更替水平时总人口数到达新的稳定状态所需的时间长度；Lutz、Neill 和 Scherbov (2003) 通过设定将总
6、和生育率控制在低生育水平一段时间，之后再恢复至更替水平的不同假定方案来进行人口数量预测，并比较不同方案下的预测结果，这种预测方法是以实际人口的年龄结构为基数来预测未来年份的总人口数和总人口增长率，借此讨论人口结构中蕴藏的增长惯性。1 建立人口发展模型人口增长是一个非常复杂的问题。经过研究分析，影响人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。如果把这些因素都考虑在内的话，所建的数学模型是非常复杂的。所以，本文做了如1.1的假设。1.1 模型假设：（1）只考虑自然出生与死亡，不计迁移；（2）出生率认为是定值，为 0.012；（3）死亡率 的确定.通过在中国数据统计年鉴上的 1978 年到 20
7、10(,)urt年的各年龄段死亡率对比发现，除却个别年份瘟疫地质灾害等，得出20012005 年各条死亡率基本一致,反映了没有瘟疫、没有战争等社会,死亡率不随时间而改变，随着年龄的改变，且其变化函数为： ()(18920.16*)/(1(18920.6*)urerer；（4） 为人口分布函数（年龄 的人口） ；(,)Frt r（5） 为人口密度函数；,pt（6） 为人口总数；()Nt3（7）最高年龄为 100 岁。则得到 ；(0,),(,)()mFtFrtNt(,)/prtFr1.2 模型分析 1(,)(,)(,)(,)prtdprdttdrrtprtdt推导得到： (,tptrt初始条件：
8、0(,)(),0;(,)0.12,0pprtt解得此方程的函数解为： 0()(),0(,).12(),0rprtesdtrtprt rstr 1.3 模型建立本文是基于 1995 年的人口基数，对其每个年龄段的人数（即 F）模拟成函数形式，并对其求导，求出对应的 p，再进行一下的模拟。人口总数： 10()(,)Ntprtd平均年龄： 10(,)()rptdrRtN平均寿命：410()(,)0ktStertdkt 老龄化指数： ()()/()wtRtSt1.4模拟求解写出 Matlab 程序语言：1. 先建立子程序 fs.m，如下所示：function f=fs(r)f=exp(-11892+0
9、.126*r)./(1+exp(-11892+0.126*r);2. 建立子程序 fk.m，如下所示：function f=fk(k)syms t;f=exp(1/0.126*(log10(1+exp(-11892)./log10(exp(1)-log10(1+exp(-11892+0.126.*(k-t)./log10(exp(1); 3. 建立主程序 laolinghua.m，如下所示：close axis (0,100,0,100)hold on for t=1:100for r=1:1:100if(t=0)&(t=r)I=quad(fs,r-t,r);p(r,t)=(-0.004663
10、)*(r-t)4+1.946*(r-t)3-224.31*(r-t)2+5776*(r-t)+1.874e+005)*exp(-I);elseI1=quad(fs,1,r);5p(r,t)=(1.874e+005)*exp(-I1);endendF=p(:,t); P=F;R1=ones(100,1); N=P*R1plot(t,N,g*)R2=1 : 100;R=P*R2/Nplot(t,R,bo)S=quad(k)(exp(1/0.126*(log10(1+exp(-11892)./log10(exp(1)-log10(1+exp(-11892+0.126.*(k-t)./log10(ex
11、p(1),t,100);w=R/Splot(t,w,r+)end此模型得到从 1995 年到 100 年之后的老龄化趋势和平均年龄趋势。2 模拟结果分析通过运行 1.4 的程序，得到如图 1 所示的曲线：从图 1 中我们可以看出平均年龄正随着时间的推移逐渐变大，而老龄化指数也随着时间的推移逐渐增大。从图 2 中可以看出，适度增大出生率，平均年龄将增加的缓慢，老龄化指数也增加的缓慢。所以，依照目前的出生率和死亡率而言，我国现在将要进入了老龄化阶段，而且必定进入老龄化阶段。所以，我国现在实行的计划生育生育政策应鼓励夫妻生第二个孩子，甚至第三个孩子。但同时，考虑中国人口基数过大，还必须对计划生育政策
12、加大力度。计划生育政策在近二三十年可以加大力度实行，但是二三十年之后就应该鼓励多生孩子，否则中国就进入老龄化社会。国家的重担、家庭的重担对未来的孩子而已确实过重。6图 1 平均年龄和老龄化指数随时间的变化上边的线代表平均年龄，下边的线代表老龄化指数适度增大出生率进行调节，如图 2 所示：图 2 平均年龄和老龄化指数随时间的变化上边的线代表平均年龄，下边的线代表老龄化指数3 结论针对中国人口现状，用人口发展方程对人口总量、平均年龄和老龄化指数7进行的预测表明：中国总人口预计到2060年将达到峰值约为19.5亿，此后开始缓慢下降，人口老龄化现象将越来越严重。这表明中国人口形势仍然严峻, 若取消计划生育政策, 人口增长将会更快, 对现在已经不堪重负的各种资源以及就业形势将是个极其严峻的考验.因此, 中国的计划生育政策在近二三十年内应该继续坚持. 同时, 由于生育率的快速下降, 中国未来年龄结构变化体现出持续、快速的人口老龄化. 因此, 老年人的赡养、生活、文化、医疗保险等将成为较严重的社会问题. 各级政府要认识到老龄化社会问题的严重性和紧迫性, 要对社会老龄化的问题给予重视, 尽早制定相关应对政策, 以保证社会经济的健康发展.
