差分方程模型

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1、第七章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。7.1 个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998 年 12 月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表 7.1 所列:表 7.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上利率 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利

2、率做出相应调整。表 7.2 和表 7.3 分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。表 7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年利率 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660表 7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元）贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年月还款 一次还清本息总和 10612.0444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一个自然的问题是,表 7.2 和表 7.3 是如何依据中央人民银行公布的

3、存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款 10000 元为例,一年期贷款的年利率为 6.12,到期一次还本付息总计10612.00 元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为 6.255,月还款数 444.36 元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第 个月时欠款余额为 元，月还款 元,则由 变化到 ,除了还款额kkAmkA1k外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为 ,从r而得到 1kkAr或者(7.1)1

4、()kkArm初时条件(7.2)0这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率 平均。即0.625R=0.06255/12=0.00512125 (7.3)r若 是已知的,则由(7.1)式可以求出 中的每一项,我们称(7.1)式为一阶差分方程。mkA模型解法与讨论（1）月还款额二年期的贷款在 24 个月时还清,即=0 (7.4)24A为求 的值,设m， =1,2, （7.5)1kkB易见 kkr)(1于是导出 的表达式(7.6)1(),2kkBrL由(7.5)式与(7.6)式得= 01kkjA1()krB= 0()()krAm从而得到差分方程(7.1)的解为(7.7)0(1)()1/,2kkk

5、ArrL将 的值和 =24 代入得到 =444.36(元),与表 7.3 中的数据完全一致,这样我们024,r就了解了还款额的确定方法。当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表 7.2 商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表 7.1 中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12是一年期,而在表 7.1 中是上一档半年期,6.66是五年期而在表 7.1 中是上一档三年期。其次再考察表 7.2 商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。 依据这两个结论

6、,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。(2)还款周期我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(7.7)式中的利率 代之以年利率 =0.06255,那么由 =2, =0, =10000,则可以求出年还款额应rRk2A0为=5473.87(元)m这样本息和总额为2 =10947.73(元)远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。（3）平衡点回到差分方程(7

7、.1),若令 ,可解出1kA(7.8)/mr称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值 时,将恒有0/Amr。 /,1,2kArL在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率 和月还款额 是固定的,则当初r贷款额稍大于或小于 时,从方程(7.1)的解的表达式(7.7)中容易看出，欠款额/Amr随着 的增加越来越远离 ,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程k, =0,1,2， (7.9)1()kkxf称满足方程()f的点 为（7.9）的平衡点。若（7.9）的解*x(7.10)则称 为lim*kx *x稳定的平衡点,否则称 为不稳定的平衡点。判别平衡点 是否稳定的一个方法是考

8、察导*x数 :()f（1）当 1 时, 是不稳定的。*x在金融乃至经济等其他领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介绍几个典型例子。7.2 养老保险养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金的约定下,男子若 25 岁起投保,届时月养老金 2282 元;若 35 岁起投保,月养老金 1056 元;若 45 岁起投保,月养老金 420 元。我们来考察三种情况下所交保险费获得的利率。设投保人在投保后第 个月所交

9、保险费及利息累计总额为 ,那么很容易得到数学模k kF型(7.11) MNkqrFpk ,2,1,)1( L其中, 分别是 60 岁前所交的月保险费和 60 岁起每月领的养老金数(单位: 元), 是所,pq r交保险金获得的利率, 分别是投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).,NM显然 依赖于投保人的寿命,我们取该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值75 岁,以 25 岁投保为例,则有=200, =2282， =420, =600pq而初始值 =0,据此不难得到0F(7.12) MNkrqrpNkNkk ,2,1,/)1()( 00 L由此可得到关于 的方程如下r(7.1

10、3)(1)(/)(/)0MMprqp记 ,且将已知数据代入,则只需求解方程x(7.14)601802.4.x由方程(7.14)求得 =1.00485, =0.00485（非线性方程求近似解） 。r对于 35 岁起投保和 45 岁起投保的情况,求得保险金所获得的月利率分别为 0.00461和 0.00413。7.3 金融公司支付基金的流动金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额 5400 万的基金,分开放置在位于 城和A城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为 5400 万。经B过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司

11、内,而 城公司有 10%支付基金流动到 城公司, 城公司则有 12%支付基金AB流动到 城公司。其初 城公司基金为 2600 万, 城公司基金为 2800 万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于 2200 万,那么是否需要在必要时调动基金?设第 周末结算时, 城公司 城公司的支付基金数分别为 ， (单位:万元),1kAB1kab那么有(7.15)kkkbab8.0.1291 L,210这是一个差分方程组,初始条件为=2600, =2800 (7.16)00通过迭代,可以求出第 周末时的 和 的数额,下面的表 7.4 列出了几种情况下 1 至 1

12、2kk周末两公司的基金数。表 7.4（ ） 的两城支付基金表a280,60bkkkk kakb1234562676.0 2724.02735.3 2664.727815 2618.52817.6 2582.42845.7 2554.32847.7 2532.37891011122884.8 2515.22898.1 2501.92908.5 2491.52916.7 2483.32923.0 2477.02927.9 2472.1表 7.4（ ） 的两城支付基金表b260,80bakkakk kakb1234562832.0 2568.02857.0 2543.0 2876.4 2523.62

13、891.6 2508.42903.5 2496.52912.7 2487.37891011122919.9 2480.12925.5 2474.52929.9 2470.12933.3 2466.72936.0 2464.02938.1 2461.9表 7.4（ ） 的两城支付基金表c240,30bakkakk kakb1234562988.0 24122978.6 2421.4 2971.3 2428.72965.6 2434.42961.2 2438.82957.7 2442.37891011122955.0 2445.02952.9 2447.12951.3 2448.72950.0 2

14、450.02949.0 2451.02948.2 2451.8从表 7.4（ ）中可以看出 城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步减小; 城公aA B司的基金变化正好相反。然而, 是否有上界, 是否有下界? 是否会小于 2200 万元kakbkb呢？我们还是不能断言。解决这个问题有许多方法,下面我们借助线性代数知识来处理这个问题,将(7.15)式写成矩阵形式(7.17)kkbaba8.01291那么我们就可以得到. 1.9. (7.18)0118.209babakk利用正交变换（也可以利用矩阵迭代）,便可以圆满地回答前面的问题。对于本例，当充分大 城公司的支付基金为 2945.8 万元， 城公司的支付基金为 2454.2 万元。均满kAB足 2200 万元的最低保证金要求（请读者自己完成） 。 类似于差分方程平衡点的讨论，对于一般的一阶常系数差分方程组（7.19）1kkX称满足方程组的解向量 为（7.19）式的平衡点。如果*limk称平衡点是稳定的。记()|0AI可以