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1、 二元函数极限的求解方法摘要：极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。函数极限的计算方法比较灵活，本文对函数求极限的几种方法进行了归纳。关键词：函数极限 求解方法极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终。可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限。在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数、的敛散性、多元函数的偏导、广义积分的敛散性和重积分的概念。因此极限是微积分学中一个很重要的基本概念之一，是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础。应该说，极限
2、的求解方法比较灵活，学生在实际计算时经常会碰到一些问题。因此，本文对函数求极限的几种方法加以归纳。1.利用极限的描述性定义极限的描述性定义为，若当自变量的绝对值|x|无限增大时，相应的函数值 f(x)无限接近某确定的常数 A，则称当 x 趋向无穷时函数f（x）以 A 为极限，或 f（x）收敛到 A，记 或 f（x）Afx)(limA（ ）关于二元函数极限求法的探讨在二元函数 Z=f(x,y)的极限问题中，自变量的变化情况较一元函数复杂得多。因此，f(x,y)的定义域是 XOY 平面上的一个区域，动点(x,y)趋于定点(x ,y )的路径可以是多种多样的，只有当动点(x,y)沿着任意路径0趋于定
3、点(x ,y )，函数 f(x,y)总是趋于某数 A 时才能称 A 为 f(x,y)当0时的极限。因此二元函数的极限比一元函数的极限复,YyXx杂得多且难求。本文总结了计算二元函数极限的方法，并通过例题作出一些说明。一、 利用二重极限的定义“ ”运用此方法，可以先通过求累次极限或方向极限或观察的方法，先找出某一个数，然后用“ ” 定义去证明这个数就是二重极限的值。例 1 设 f(x,y)= ,求 。2yx),(lim0,yxfyx解| f(x,y)-0|= 22211| 故 1|0-y)f(x, |0,0时 ， 有当取 yx)(lim,yxfyx二、运用连续函数的性质当二元函数 f(x,y)在
4、点(x。 ，y。)连续时，该 点 的 的 函 数 值 即 可 。 数 在时 的 极 限 ， 只 要 求 出 函当。 所 以 ， 求 0000, ,(),(),(li yxfxfyfyx 例 2 计算 1ln)l(im,0ln)l(i20,220, eyxexyyxyx 点 连 续 ，在解 Q三、 变量代换（1）利用一般的变量代换，化为一元函数的极限。例 3 求 )()(li)0, 是 一 个 确 定 的 自 然 数yxmyxe解 令 t=x+y,则当 t,时0li)(li)(, tmtyxmyx ee（2）用不等式“夹挤” ，化为一元函数的极限例 4 计算 yx,li)()ln(2yx 0)l
5、n()(lim|ln|4lim|4|l|2 |)ln(|)l(|)()n()(20, 2 2222 yxy yxyxyx 且其 中解 ：Q化 为 一 元 函 数 的 极 限， 从 而 二 元 函 数 的 极 限 注的 “一 致 极 限 ”存 在 关 于。号 右 端 时 等其 中 当。有 。 。存 在 极 限 ， 可 做 变 换 ：。在 点） 若 已 知（ )(2,0)sin,cos( 0)sin,co(li),li (),2n cos),(300, 22 yxf yxfy xfx. |)sin,cos(|2,0,0:,0 A,)sincos( 0),(lim22 Ayxfyxf Axfy 。
6、， 即一 致 极 限 是关 于。函 数 时。当注 ： 定 理 。 ， 1)ln(lim0)l(li )ln(lim),ln()(n(0 0ln,110)ln(lim)l(lim,nz,z)(li601 ,(,),(li22),(),(022 22),(),(22222 22022),(),( 222)0,),(),(),( eyxyx yxyyxyxyyxx yxyyyxx yxyfxy yxxyxyy xgyx。 。 ）（。 ）（而不 妨 设则解 ： 设求例 求 极 限 的 方 法 来 求 极 限） ， 可 以 用 先 求 对 数 后，呈 现 出 某 种 不 定 型 （ 如 的 过 程 中。
7、）的 形 式 ， 并 且 在 （四 、 若 所 求 极 限 具 有 Q五、利用分子或分母有理化 41)xy2(lim )4xy2(lim)xy2(4lixy42li70, 0,0,)0,(, yx yxyxyx ）（解 ： 原 式求例 ）（六、判断 f(x,y)在点(x。,y。)出极限不存在的方法 在 。， 则 二 重 极 限 不 可 能 存极 限 均 存 在 ， 但 不 相 等。 因 此 ， 如 果 两 个 累 次那 么 在 且 为并 且 它 的 累 次 极 限 也 存时 的 二 重 极 限 存 在 且 为。）当 （若 ） 利 用 累 次 极 限（ 来 说 明 。， 通 常 是 取 得 特 殊 路 径处 极 限 不 存 在 的 问 题 中。在 点在 证 明 函 数BA B,A),(,),(1,),yxyxfpf不 存 在 。证 ： 不 存 在 。证 明 ：例 ）（ ）（),(lim1xliy-li),(li ),(lim,),(8)0,(, 20xy0 )0,(,2yff yxfxyxf yxQ（2）令 y= 或（x= ） ，这里 y= 是 f(x,y)的定义域 D 上的任意连续曲）（）（ y）（ x线，并且 那么，若 。如出现矛盾，则极限不。）（ xli0xAyflimyx），（。 ）。 ，（），（存在。
