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1、1奥数之工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效 率 、工作时 间 这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。 工 程 问 题 方 法 总 结 ：一 ： 基 本 数 量 关 系 ： 工 效 时 间 =工 作 总 量 二 ： 基 本 特 点 ： 设 工 作 总 量 为 “1”， 工 效 =1/时 间 三 ： 基 本 方 法 ： 算 术 方 法 、 整 体 思 想 、 组 合 法 、 比 例 方 法 、 方 程 方 法 、 假 设 法 四 ： 基 本
2、 思 想 ： 分 做 合 想 、 合 做 分 想 。 五 ： 类 型 与 方 法 ：一 ： 分 做 合 想 :1.合 想 ,2.假 设 法 ,3.巧 抓 变 化 (比 例 ),4.假 设 法 。二：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配 三：休息请假： 1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法 四：周期工程休息与周期： 已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。 1.天数：近似天数，准确天数。 2.列表确定工作天数。 交替与周期：估算周期，注意顺序！ 注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。 五：工效变化。 六：比例：1.分比与连比，2.归一思
3、想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。 2一、用“组合法”解工程问题专题简析：在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。例题 1。一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能完成工程的 ，乙队单独完成全部工程需要几天？730【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，115则问题可解，然
4、而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量 3 ，从而求出甲队的工作效率。所730 115 130以1【 （ 3）（53）】20（天）115 730 115答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。边讲边练：1、 师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由徒弟接着做 1 天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？3202、 某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做 2 天，再524由乙队独做 3 天，能
5、完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？132433、 甲、乙两队合做，20 天可完成一项工程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天，还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？815例题 2：一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这项工程的 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时12间相等。求两段一共用了几天？【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ 3）2 ；再由条件“做12 112 18完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时
6、间。（1） 乙队每天完成这项工程的（ 3）212 112 18（2） 两段时间一共是1（ 2+ ）26（天）18 112答：两段时间一共是 6 天。边讲边练：1、 一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。815这两段时间一共是几天？42、 一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？3、 某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙
7、接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？例题 3：移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽了 3 小时后，又由弟弟栽了 1 小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽 7 棵。1116共要移栽西红柿苗多少棵？【思路导航】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽了 1 小时后，哥哥又独做了 2 小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。哥哥每小时栽总数的几分之几（1 1）（31）1116 18 332一共要移栽的西红柿苗多少棵7【 （ ）】112（棵）332
8、 18 332答：共要移栽西红柿苗 112 棵。5边讲边练：1、 加工一批机器零件，师、徒合做 12 小时可以完成。先由师傅加工 8 小时，接着再由徒弟加工 6 小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做 10 个零件。35这批零件共有多少个？2、 修一条公路，甲、乙两队合做 6 天可以完成。先由甲队修 5 天，再由乙队修 3 天，还剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修 20 米。这条公路全长多少米？3103、 修一段公路，甲队独修要 40 天，乙队独修要用 24 天。两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路全长多少米？例题 4：一项工作，甲、乙、丙 3
9、人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、丙合做2 小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，也可以完成这23项工作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？23【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 ”组23合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的 ”，则23求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几（ 2）（62）23 16 1126丙每小时完成这项工程的几分之几（ 3）（63）23 16 118甲、 丙合做需完成的时间为：1（ + ）7
10、（小时）112118 15答：甲、丙合做完成需要 7 小时。15边讲边练：1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小时，可1318以完成这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？11182、 一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？3、 一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、乙、丙三队合做 4 天后，余下
11、的工程由乙队独做 5 天完成。乙队单独做这项工程需多12少天可以完成？4、 一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 27小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？例题 5：一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出
12、丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的【1（ + ）】（4+7）124130 140三队合修完成时间为1（ + + ）10（天）124130140答：10 天可以完成。边讲边练：1、 一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2、 一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8 天，剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？3、 一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合8做 3 天后，由乙单独做，还要
13、9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天可以完成？4、 一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲队单独做 24 天后，乙队加入，两队又合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？二、特殊工程问题专题简析：有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。例 1：修一条路，甲队每天修 8 小时，5 天完成；乙队每天修 10 小时，6 天完成。两队合作，每天工作 6 小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“甲队 40 小时完成”，后两个条件综合为“
14、乙队 60 小时完成”。则1 + 6=4（天）158 1106或 1（ + ）6=4（天）158 1106答：4 天可以完成。边讲边练：1、 修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙队每天修 8 小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？2、 一项工作，甲组 3 人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组 2 人和乙组7 人合作，多少天可以完成？93、 货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可以运完，用20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、3 辆马车和 7 辆小板车共同运两天后，全
15、改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？例 2：有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” 三人同时搬运了2（ + + ）=8（小时）110112115 丙帮甲搬了（1- 8） =3（小时）110 115 丙帮乙搬了8-3=5（小时）答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。边讲边练：1、 师、徒两人加
16、工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 ，徒弟每小时加工110自己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完115成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？102、 有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 18 小时，乙需要 12 小时，丙需要 9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的 ，乙每小时加工5812 个零件，甲单独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？例 3：一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作先由甲做了若干天
