数论之同余与余数问题

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1、主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： 电话：010-62617698 ，62923545学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09 年秋季五年级第 14 讲-数论之同余与余数问题教师版 Page1of6第 14 讲 数论之同余与余数问题1、 被除数除数=商余数，被除数=除数商+ 余数2、 和差积的余数同余余数的和差积。3、 同余：ax 余 r, bx 余 r，则(a-b)是 x 的倍数，这种技巧常用于求除数的题目。4、 求被除数三大类问题:余同 (最小公倍数的倍数加余数)，差同（最小公倍数的倍数减差） ，都不同（剩余定理） 。5、 整除与余数：除以 3 或 9 的余数看数字

2、之和，7、11、13 是三位一格，奇位和减偶位和（减不够加 7、11、13 的若干倍） ，11 也可以一位一格，奇位和减偶位和（减不够加 11 的若干倍）6、 个位数字：自然数的 m 次方的个位数字都可以看成 4 次方 1 个周期。7、 有规律的余数问题，常利用“和差积的余数同余余数的和差积” ，结合周期简化题目。【和差积的余数同余余数的和差积】【1】【解析】 （9+7+2）(9-7)(7-2)=1825=180，180 除以 11 余 4.【2】【解】 3、 6、 9除以 3，余数是 0，所以只须看表达式 124578除以 3 余几注意：如果 a 除以 3 余 1, b 除以 3 余 1.

3、，那 ab 除以 3 所得的余数就是内 1ab除以 3 所得的余数因为 4、7 除以 3 余 1，所以 4、 7，除以 3，余数也是 1 . 因为 5、8 除以 3 余 2，所以 5、 8除以 3，余数与 52, 8除以 3 的余数相同而 42=16 除以 3 余 1，所以2= 42 除以 3 余 2 , 8= 4 除以 3 余 l（=11） 于是 1457除以 3，所得余数与 l4l 211 除以 3，所得余数相同，即余数是 1 . 【3】【解】 有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的 5 倍.八盒糖的总块数是917242830313344=216 216 除以 5 的

4、余数为 1，所以甲取走的一盒除以 5 余 1.因此甲取走的一盒中有 31 块奶糖.【4】【解法 1】 甲余 11 人，乙余 3611=25 人.甲团人数与乙团人数的积除以 36，余数与 1125 除以 36 的余数相同，即余 23.所以最后一卷拍了 23 张，还可拍 3623=13 张.【解法 2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是 36 的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的. 251136=723 还可拍 3623=13(张).【5】【分析】任何数乘方的尾数都是 4 个数一周期7 是 7、9、3、1 循环，因为 20104 502 2，所以 2017 尾数是 9

5、. 主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： 电话：010-62617698 ，62923545学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09 年秋季五年级第 14 讲-数论之同余与余数问题教师版 Page2of68 是 8、4、2、6 循环，因为 98 4 余 2，所以 9810765尾数是 4 . 9 是 9、1、9、9 循环，因为 20094 余 1 ，所以 20尾的数是 9 . 9+94=45，个位为 5.【6】【分析】 求结果除以 l0 的余数即求从 l 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循

6、环的，因此把每个加数的个位数按 20 个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的首先计算 123420L的个位数字为 M . 2005 个加数中有 100 组多 5 个数，100 组的个位数是 M100 的个位数即 O , 另外 5 个数为 20120、 203204、 、 205、 ，它们和的个位数字是 1476523 的个位数 3.【7】【分析】 同余的性质的应用【解】 1433 ( mod7 ) 8914 3 ( mod 7) 61(mod 7) 89614535 (mod 7) . 【评析】 这类题都是通过找几次方除以 7 得余数 1 作为突破，大大简化题目的难度。【巩固】【解析】201

7、18 余 3， 2091与 0除以 8 的余数相同，33 除以 8 余 1，所以2092041(mod)【同余-用于求除数】同余：ax 余 r, bx 余 r，则(a-b)是 x 的倍数。【基础知识练习】 【分析】 所求自然数减去 63 的差可被 247 与 248 整除，再考虑这个差被 26 除的余数【解】 设所求自然数减去 63，差是 A ，则 A 被 247 与 248 整除，247 = 1913 , 248=2 124 所以 A 被 13 与 2 整除，13 与 2 互质，得 A 被 26 整除原来的自然数是 A + 63 ，所以只要考虑 63 被 26 除后的余数 63 = 262+

8、 11 因此这个自然数被 26 除余 11 答：所求余数是 11. 【评析】 如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除 【1】【解析】由 85-69=16，93-85=8，推出 A=8 或 4 或 2，978=121.所以丁团分成每组 A 人的若干组后主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： 电话：010-62617698 ，62923545学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09 年秋季五年级第 14 讲-数论之同余与余数问题教师版 Page3of6还剩 1 人。【2】【解析】 这个数 A 除 5

9、5l,745 个数去除 551,745,1,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327 两两做差而得到的数一定是除数 A 的倍数1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582这些数都是 A 的倍数,所以 A 是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194所以,这个数最大可能为 194【3】【分析与解】 设这个除数为 M,设它除 63,90,130 所得的余数依次为 a,b,c,商依次为 A,B,C63M=Aa

10、 90M=Bb 130M=Cca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)M,即 283-25=258=(A+B+C)M所以 M 是 258 的约数.258=2343,显然当除数 M 为 2、3、6 时,3 个余数的和最大为 3(2-1)=3，3(3-1)=6,3(6-1)=15,所以均不满足而当除数 M 为 432,433,4323 时,它除 63 的余数均是 63,所以也不满足那么除数 M 只能是 43,它除 63,90,130 的余数依次为 20,4,1,余数的和为 25,满足显然这 3 个余数中最大的为 20【余数三大类问题-用于求被除数】(1)余同：最小

11、公倍数的倍数+余数， （2）差同(差=除数-余数)：最小公倍数的倍数-差 (3)都不同：结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。【1】【分析】 N 加上 1 ，就可以被 10 、 9 、 8 、 、 2 整除【解】 由于 N 十 l 被 10、9、8、2 整除，而 10、 9 、 8 、 、 2 的最小公倍数是 5987=2520 因此， N 十 1 被 2520 整除 N 的最小值是 2520 一 1 = 2519 答： N 的最小值是 2519 . 【2】【解】设这个数为 23a7，因为它除以 19 余 9，所以，23a7 一 9 =19a4a 一 2 被 19 整除，即 4a

12、一 2被 19 整除令 a = l , 2 ，代入检验，在 a = 10 时，4a2 = 38 第一次被 19 整除，所以所求的自然教最小是 23107 = 237 【3】【分析与解】设这个圆圈有 n 个孔,那么有 n 除以 3 余 1,n 除以 5 余 1.n 能被 7 整除则将 n-1 是 3、5 的倍数,即是 15 的倍数,所以 n=15t+1,又因为凡是 7 的倍数,即 15t+1=7A,将系数与常数对 7 取模,有 t+10(mod7),所以 t 取 6 或 6 与 7 的倍数和.对应孔数为 156+l=91 或 91 与 105 的倍数和，满足题意的孔数只有 91即这个圆圈上共有

13、91 个孔【活学活用】【1】 【解析一：教材方法】甲、乙两数的差被 3 整除，即甲、乙两数被 3 除的余数相同主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： 电话：010-62617698 ，62923545学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09 年秋季五年级第 14 讲-数论之同余与余数问题教师版 Page4of6一个自然数被 3 除，余数只有 3 种情况，即 0、1、2. 由分析可知：甲、乙两数被 3 除，余数相同，下面分三种情况讨论（1） 如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被 3 整除，不符合题意（2） 如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被

14、3 除余 2 , 也不符合题意（3） 如果甲、乙两数被 3 除都余 2 ，那么，它们的和被 3 除正好余 l . 答：甲数被 3 除的余数是 2 . 【解析二：致远推荐】A+B=3m+1，A-B=3n，解得 2A=3m+3n+1，所以 A=3(m+n)+12，无论 m+n为奇数还是偶数，A 除以 3 余 2.【2】【解析】 设 a、b、c 为连续三项，则c= 3b 一 a考虑原数列各项除以 3 所得的余数，组成数列 0 , l , 0 , 2 , 0 , l , 0 , 2， 每 4 项重复出现考虑原数列各项除以 2 所得的余数，组成数列0，1，1，0，1，1，0，1，1，每 3 项重复出现.

15、因此，原数列最右边的（第 70 个）数，除以 3 余 1（70 = 4172） ，除以 2 所余0（70=323 1）于是最右一个数被 6 除余 4.【3】【分析】 算出 2047 所得的余数，便可推得结论若把 2004 连乘，用所得的结果除以 7 ，计算太复杂了！因此先找出与 2004 除以 7 同余的最小数，然后根据余数的有关性质解题【解】 因为 2004 除以 7 的余数是 2 . 所以 2047 与 2047 的余数相同而 = 368（ ） = = 68（ +1）所以 2047 与 7=17 的余数相同.故 7 的余数为 1 . 因为今天是星期一，所以再过 204天是星期二【评析】 若 a =pqr，则 mq 与 rq 余数相同，在遇到一些非常大的数的若干次幂时，可使用幂的相关性质进行分解，使大数化成小数，如： mna= )(, m+n= na【天天练】【1】【解】 甲数是 13 的倍数加 7，乙数是 13 的倍数加 9，所以它们的积是 13 的倍数加 79，而 79 除以13 余 11，所以甲、乙的积除以 1