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1、一道高考题的解法引发的思考作者：谢梅职务：高中数学老师职称：中教二级单位：甘肃省嘉峪关市一中手机：13993776026邮编：735100一道高考题的解法引发的思考谢 梅2009 年浙江文科高考题第 21 题：已知函数 .),()2()1()(23 Rbaxaxxf （I）略；（）若函数 f(x)在区间（-1 ，1）上不单调，求 a 的取值范围. .w.w.给出参考答案：解：（）略；（）函数 在区间 不单调，等价于)(xf),(导函数 在 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数1即函数 在 上存在零点，根据零点存在定理，有)(f,， 即：01 )2()1(23)()(23 aa整理
2、得： ，解得01)5a5解答过程正确与否，先不考虑。就结果而言，是否正确？不妨带一个特殊植验证一下：令a=0，得 ，只需要讨论 在区间（-1，1）上的单调性bxf23)( bxf23)(即可。 =0 得：x=0 或 x= 都在区间（-1，1）内，因此，a=0 时也满足条件。说明 3-参考答案不正确。接下来，分析一下为什么。“函数 f(x)在区间（-1，1）上不单调” 在区间（-1，1）内至少有一个实根。0)(xf参考答案只给出了区间内有一个实根的情形，忽略了有两个不相等的实根这一情形。因此，过程补充如下：。或21-0)1(30afa1a综上所述：a 的取值范围是 。),(),5(aU根据上述解
3、题过程中判别式恰好是完全平方式，判断导数 可以分解因式。从而产生)(xf解法二： )2()1(23)( axxf)23)(ax 由 得：0(f 3,1根据题意： 在区间（-1，1）内至少有一个实根。)xf或132a 132-a 解得： ),()2,5(U感悟：对于三次函数在给定区间（a,b）上存在极值或者不单调的问题，都能转化为有两个不相等的实根，且在区间上至少有一个实根，进而求参数的取值范围的问0)(xf题。解决这一类问题，首先要观察，能否分解因式。 如果能分解因式，即可得到 的两根 .接下来，把问题转化为解不等式组：0)(xf21,x或 。bxa12bxa21 如果不能分解因式，有时也采用
4、 的思路利用一元二次方程的求根公式得到的两根 .再把问题转化为解不等式组：0)(f21,或 。这种方法的缺点是解不等式比较复杂，运算量大。bxa12bxa21例：（2011 年文科全国 II）已知函数 32()(6)+124fxaxaR()略；（）若 求 a 的取值范围。00()fx在 处 取 得 最 小 值 ， （ 1， ） ，（II）由 得f21a（i）当 时， 没有极小值；1()fx(ii)当 或 时，由 得2a2021, 1xxa故 。由题设知 ，0213当 时，不等式 无解；21a213a当 时，解不等式 得1a521a综合(i)(ii)得 的取值范围是 。5(,2)分类讨论：情形一
5、： 有两个相异实根且在区间（a,b）上恰有一个实根0)xf；)(bfa情形二： 在区间（a,b）上有两个相异实根，记 的对称)(xf )(xfy轴为 ，则原命题m，求两种情形的并集得到结果。 0)(bfa区间端点的导数值或者导数值的符号确定，可以确定 的跟的个数，省去分类讨0)(xf论的过程。讨论 和 的符号，如果能确定其中一个或两个的符号，也可以确定区间上根)(afbf的个数，然后转化为不等式求解。例：函数 32()(6)124()fxaxaR()略；（）若 001,3f x在 处 取 得 极 小 值 ， ,求 a的取值范围。解：（）由已知， 在区间（1,3）至少有一个实根，且较大的实根一定在区间)(x内。根据前文的分析，当 在区间（1,3）恰好有一个实根，则必须有 ，f 0)1(f。而实际上 恒成立，所以， 在区间（1,3）有两个不相等0)3(f 06)1( 0)(xf的实根，则 ， 。0)3(fa)21,5(在处理同类型的问题时，从以上几个方面为切入点，寻找突破口，快速、准确的完成解题过程。
