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1、1习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9P10）答：设数系 A 扩展后得到新数系为 B，则数系扩展原则为：（1） B（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在 B 中被重新定义。而且对于 A 的元素来说，重新定义的运算和关系与 A 中原来的意义完全一致。（3）在 A 中不是总能实施的某种运算，在 B 中总能施行。（4）在同构的意义下，B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有 A 唯一确定。数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。（2）构造法。2、对自然数证明乘法单调性：设 则,abcN（1） ,;abc若 则（2） 若 则（3） ,若 则 ；证明：（1）设命题
2、能成立的所有 C 组成集合 M。ab,1,P3(1),(),aaccbcbMQ （ 规 定 ）假 设 即2ac,.bMQ又由归纳公理知， 所以命题对任意自然数成立。,N（2） （P17 定义 9）,.abak若 则 有由（1）有 ()c（P17.定义 9）ab或： ,.akN若 则 有 bc()akc()ckcb.ab（3） ,.ak若 则 有()ccab3、对自然数证明乘法消去律： ,abcN设 则（1） ,;acb若 则（2） 若 ， 则 ；（3） 若 ， 则 。证明（1） （用反证法） ,a.abb假 设 则 有 或 cc若 有 和 矛 盾 。3,abcacb若 有 也 和 矛 盾 。
3、.故 假 设 不 真 ， 所 以（2）方法同上。（3）方法同上。4、依据序数理论推求：135（ ） ， 235（ ）解： 14（ ） 先 求 ， ，（P16.例 1） (31)5,再 求 ，326再 求 ， （ ） ，5478.如 此 等 等 ， 直 至 （ ）（2） 1先 求 ， ，32316再 求 ， ，9再 求 ， ，543125.如 此 等 等 ， 直 至5、设 ，证明 是 9 的倍数。nNn41证明： 18,n 当 时 ， 是 的 倍 数 故 时 命 题 成 立 。则当knk4519 假 设 当 时 ， 命 题 成 立 。 即 是 的 倍 数 。n=k+1 时：4。k145135k8
4、9(2)（ ）（ ）（ ）415kQ是 的 倍 数 9， 是 的 倍 数-k是 的 倍 数（ ） （ ） ()是 的 倍 数。1nk当 时 ， 命 题 成 立由，知，对于任一自然数 n 成立。6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 24411-1-.925n（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）证明： -3-3.11n 当 时 ， 左 边 ， 右 边 左 边 右 边 。1故 当 时 ， 等 式 成 立 。 k假 设 当 时 ， 等 式 成 立 ， 即 ：2441-1-).925kk（ ） （ ） （ ） （ （ ）nk则 当 时 ， 有 ：221-)(1)(k（ ） （ ） （ ） （
5、232()1)()kk。1.n当 时 ， 命 题 也 成 立由、 知，对任意自然数 n 命题成立。57、 n31-3(1,2.)2nA设 ， ，（1） 以 、 为 根 作 一 元 二 次 方 程 ；（2） 21;nnA证 明（3） 。30用 数 学 归 纳 法 证 明 是 的 倍 数解：（1） -13-22Q，0.x以 ， 为 根 的 一 元 二 次 方 程 为 ：（2） 231以 ， 代 入 以 上 方 程 ， 得 ： ，22n (31)()131nnnAnn1.（3）232110.3A当 时 ，故 命 题 对 成 立 ： 3k.nk假 设 当 时 ， 命 题 成 立 ， 即 是 的 倍 数
6、32(1)31kAA（ ）则 当 时 ， 有 ：3k（ ）3k106所得的各个12n21,3,3nAAQ又 故 经 递 推 式数皆为自然数，因此， 3k.(+1)0也 是 的 倍 数 。3kAn是 的 倍 数8、 , ,a()bcabcabc,设 都 是 整 数 。 如 果 则 对 于 任 何 整 数 都 有证明：1212a () cb.m.a()zabcQQ， （ ）又 （ ）9.证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数 a 和 a+1 之间存在 。b,1a使依据加法单调性， ， ()()1()ba即 27.这就和自然数集具有离散性相矛盾。1baQ（ ）10
7、、证明：有理数乘法满足结合律。证明： （1）,()abcabc设 要 证 ： （ ）当 a,b,c 中至少有一个为零。 （1）显然成立。设 a,b,c 都不为零。因为算术数乘法满足结合律，故 。故（1）两a()bc（ ）边的绝对值相等。如果 a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果 a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：； ； ； ； ； 10（ ） 21（ ） 3（ ） 40U（ ） 5Q（ ）； ； 。6（ ） 奇 数 集 合 7（ ）
8、偶 数 集 合 836,n（ ） ， ， ，答：（1）加，乘，成环（2）乘，除（3）加，乘（4）加，乘（5）加，乘，除（6）乘8（7）加，乘，成环（8）加，乘，成环12、设有 n 个正分数（分母为正分数）312.nab求证： .12an证明： 设 m,ab1212a332ba443a(1)mQ111bmab2b1212a又即 2,b而(2)2ma(3)3同 理 ：M(n)nnba912n（ ） （ ） （ ） 1212m()()nnbab12nb.12anb即 3.近 似 计 算 ：430+.510.62.6823.34.104563433().2.10.6 =1+.5) (8.091 解 ：
9、 解 法 一 ： 334441.2.5.6=0101(.)1.8590解 法 二 ： 10(2)43.60827.().132.68733(4).10).45626.9814.已知近似数 2315.4 的相对误差界是 ，.是确定它的绝对误02差界，并指出它的有效数字的个数。 0=2315.4=.638.5解 ：故近似数精确到个位所以有效数字有 4 个15.23461.7=.计 算 ， 使 结 果 精 确 到 0.1解 ： -*.,S.abcdQxadbc设 是 无 理 数 。求 证 ： 是 有 理 数 的 充 要 条 件 是11,.,.(1)Sc.()()0sc,xx=sd,.adbkabcd
10、kbdkxsadbababccd证 明 ： 若 则 设 则 为 有 理 数 。反 之 ， 若 为 有 理 数 ， 则若 则 为 有 理 数 和 为 无 理 数 矛 盾 。因 此 必 有 ， 因 而于 是 所 以17., ,.Qacbdbcd若 是 无 理 数 ， 则 当 时 ， 必 有2 ,()().0.,Q,.acbdbbcacad证 明 ： 当 时 ， 两 边 平 方 得 ：因 为 是 无 理 数 ， 如 果 则 得 为 有 理 数 矛 盾 。必 有 从 而 得18.判 断 下 面 的 序 列 是 否 为 退 缩 有 理 闭 区 间 序 列 ， 如 果 是 的 话 ， 求 出 它 所 确
11、定 的 实 数 。32452(),.,.110,.,0,.352(),.,.246nn1200001231.45230,.112, .limli1xxnnnn答 ： （ ） 因 为 即 当序 列 是 退 缩 有 理 闭 区 间 序 列 ， 它 所 确 定 的 实 数 为 1. （ 因 为 =,）(2).34,nn因 为 序 列 是 退 缩 有 理 闭 区 间 序 列 ， 它 所 确 定 的 实 数 为 0（ ） 是 1.19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。（3）共轭虚数的正整数
12、次幂仍是共轭虚数。（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。答：都有错误。（1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。（2） 是充分条件而非必要条件。（3） 共轭虚数应改为：共轭复数。（4） 是充分条件而非必要条件。1320.证明：当 n 为 3 的倍数时，132;2nii（ ）而当 n 是其它正整数时，上式左边等于-1。 112213=, 2cosin,cosin3,44=si,si312cosincosin33, nnnnik证 明 ： 设 则 则当 等 于 有 ：212=4cssicssiooin.kkkk 31122, 431431cossincossin()(
13、)()()324sicosi31.nkkkkkk当 1432121,()()4(32)4(32)cossincossin4888sicosi331.nkkkk当 132.21nniinii综 上 所 述 ： 当 为 的 倍 数 时 ，当 为 其 它 正 整 数 时 ，157772321.237=cosin,cosin6261csioncos1277sic05s052os1iii求 复 数 （ ） 的 模 及 幅 角 主 值 。解 ： 因 为 （ ）（ ） 7n7c58075si180752osin231cos75285i 复 数 的 模 为 ， 幅 角 主 值 为 。22、 2x=x1u1z设
14、 ,y是 实 数 ， z+yi,且 ， 求 的 最 大 值 和 最 小 值 。.yxQ解 ： i 2u()=z+(1)20zx又 1622130.=z1()(1).z()()xuzzzzQ又 即 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 0 = 11u()nz.1.z12=cosin,(12,)zicosin,nNkkkQL23、 解 方 程 （ +） （ ,）解 ： 显 然 ， 故 （ ） 是 的 次 虚 根 .即 ： 去 分 母 ， 整 理 得 ：(-)=+ sin(i)(si).0,cosinz. (1,2)ikkikktyictynknn QL由 倍 角 公 式 ， 01 1 2172n-141()2=cosi,n+03-nzNmnL、 设 是 方 程 的 一
