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1、第二十四章 圆单元要点分析教学内容1本单元数学的主要内容（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 圆和圆的位置关系（3）正多边形和圆（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫
2、作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目标1知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念， 探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等
3、活动 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系， 使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力（5）探索弧长、扇形的面积、 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情
4、景，激发学生求知、探索的欲望教学重点1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用 3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点确定一个圆6直线 L 和O 相交 dr 及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的
5、夹角及其运用10两圆的位置关系：d 与 r1 和 r2 之间的关系：外离 dr1+r2；外切 d=r1+r2；相交 r 2-r1 AD BAC E DOBAOMBACDPO(1) (2) (3)2如图 2，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图 3，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径， 则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C ABD DPO=PD二、填空题1如图 4，AB 为O 直径，E 是 BC中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则AC=_ BA
6、C EDOBACEDOF(4) (5)2P 为O 内一点， OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_3如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1如图 24-11，AB 为O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CNCD、DM CD，分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由 BAC DON M2如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长BA CEDO3 （开放题）AB 是O 的直径，AC、A
7、D 是O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8 ， 求DAC 的度数 BA CEDOF答案:一、1D 2D 3D二、18 28 10 3AB=CD三、1AN=BM 理由：过点 O 作 OECD 于点 E，则 CE=DE，且 CNOE DMON=OM，OA-ON=OB-OM ，AN=BM2过 O 作 OFCD 于 F，如右图所示AE=2，EB=6，OE=2，EF= 3，OF=1，连结 OD，在 Rt ODF 中， 42=12+DF2，DF= 15，CD=2 153 （1）AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示: AB=16， AC=8，AD=8 3， 2AC= （ 1AB） ，CAB=6
8、0，同理可得DAB=30，DAC=30（2）AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：DAC=60 +30=9024.1 圆(第 2 课时)教学内容1圆心角的概念2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用
9、圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用2难点与关键：探索定理和推导及其应用教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题已知OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 BAO老师点评：绕 O 点旋转， O 点就是固定点，旋转 30，就是旋转角BOB =30二、探索新知如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 BAO（学生活动）请同学们按下列
10、要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别作相等的圆心角 AOB 和A OB 将圆心角AOB绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？BBAAOAB= ，AB=AB 理由：半径 OA 与 OA重合，且AOB=A OB半径 OB 与 OB重合点 A 与点 A重合，点 B 与点 B重合 B与 重合，弦 AB 与弦 AB 重合 = ，AB=AB因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：如图 1，在O 和O 中， 分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图 2，滚
11、动一个圆，使 O 与 O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合O(O)OOB ABBO(O)OOB AAA(1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现： AB= ，AB=A /B/现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等（学生活动）请同学们现在
12、给予说明一下请三位同学到黑板板书，老师点评例 1如图，在O 中， AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 AB与 CD的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？AOB 与COD 呢？ OBA CE DF分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明AE=CF，即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在 RtAOE 和 RtCOF 中，又有 AO=CO 是半径， Rt AOE Rt CO
13、F，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB=CD解：（1）如果AOB=COD ，那么 OE=OF理由是：AOB=CODAB=CDOEAB，OFCDAE= 2AB，CF= 1CDAE=CF又OA=OCRt OAERtOCFOE=OF（2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB=CD，AOB=COD理由是：OA=OC ，OE=OFRt OAERtOCFAE=CF又OEAB，OFCDAE= 12AB，CF= CDAB=2AE，CD=2CFAB=CD AB=CD，AOB=COD三、巩固练习教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2四、应用拓展例 2如图 3 和图 4，MN 是O
14、的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点P， APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由BA CEDPONMFBACEDPNMF(3) (4)分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等， 只要说明它们的一半相等上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的解：（1）AB=CD理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、FAPM=CPM1=2OE=OF连结 OD、OB 且 OB=ODRt OFDRtOEBDF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作 OEAB，OFCD，垂足为 E、FAPM=CPN 且 OP=OP，PEO= PFO=90Rt OPERtOPFOE=OF连接 OA、OB、OC、OD易证 Rt OBERt ODF，RtOAERtOCF1+2=3+4AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆心角概念2在同圆或等圆中，如果两个圆心角
