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1、苏州大学本科生毕业设计（论文）目 录 摘要 .1ABSTRACT .2第 1 章 前言 .31.1 脑图像技术的背景知识介绍 .31.2 本文所涉及理论知识的简单介绍 .31.3 本文的主要工作 .4第 2 章 理论知识详细介绍 .42.1 B-样条函数回归理论 .52.2 欧拉方法 .6第 3 章 问题简述 .8第 4 章 模型的建立以及程序的编写 .84.1 已知的积分曲线的选择 .84.2 积分曲线最优估计的求解 .104.2.1 B-样条基函数矩阵 M 文件的建立 .104.2.2 的求解 .10)(xm4.2.3 的求解 .13t4.3 协方差矩阵及椭圆置信区域的求解 .144.3.
2、1 协方差矩阵 的求解 .14)(tG4.3.2 椭圆置信区域的求解 .15第 5 章 结果分析 .175.1 对积分曲线整体估计好坏的判断分析 .175.2 基于置信度概念的估计好坏的判断 .19参 考 文 献 .23致 谢 .23附 录 .24苏州大学本科生毕业设计（论文）1积分曲线的样条估计及在脑图像技术中的应用对已知积分曲线的模拟实验 摘要现代神经学中，神经科学家在研究神经纤维的位置时，常用的脑图像技术称为扩散张量成像。神经纤维的位置是通过积分曲线建立模型，但是该积分曲线并不是直接观察到的，比如说一个二维向量场是在一个被扰动的规则网格上观测到的，而规则网格是通过添加随机噪声而被扰动的。
3、关键的步骤是求出满足某常微分方程的积分曲线，但该微分方程的函数形式通常是未知的。本文首先运用样条函数回归理论，通过光滑化从随机场数据中提取出微分方程的函数形式，进而采用欧拉方法求出积分曲线的估计，再构造出相应的椭圆形置信区域。为了判断这种方法的好坏，本文选取了已知的积分曲线 ，对微分方程21sin83)(co21ttx，)21,87()0()xxm，tdt 1112 1222()0.5+,(),()TTijxtemxtt（其中 是 的独立同分布的有界随机向量）进行相同的方法编程计12,1nijijije0ijEe算。我们通过欧拉方法在点 开始迭代，计算出该已知积分曲线的估计，解),()(出在光
4、滑向量场中的微分方程。同时，我们求出积分曲线的估计的协方差矩阵，来求得沿着积分曲线的置信椭圆带，并在三维图中画出。最后，基于置信度的概念，对该方法程序进行好坏分析，使得置信椭圆带较好地包括住已知的积分曲线，并且程序运行速度较快。关键词：B-样条 欧拉方法 置信度 置信椭圆区域 积分曲线苏州大学本科生毕业设计（论文）2ABSTRACT Mordern neuroscientists study the location of neural fibersthe main brain imaging technique is called diffusion tensor imaging.They
5、are modeled by integral curves that are not observed directly. Instead, for example a two-dimensional vector field is observed on a regular grid perturbed by additive random noise.Therefore, the pivotal step is to compute an integral curve that satisfies an ordinary differential equation(ODE). But t
6、he function form of the ODE is frequently unknown. Firstly, the article apply the spline function regression theory. Through smoothing message, from random data one can get the ODEs function form, in order to calculate the estimator of the integral curve by Eulers method, then construct the correspo
7、nding confidence ellipses. In order to analyse advantages and disadvantages of the method, choose a simulative integral curve: .We use the same method to calculate the 21sin83)(co21ttxODE：，),7()0()xm，tdt 211212 122()0.5+(),(),TTijxtemxtxt （where are i.i.d bounded random vectors with ) by 12,1nijijij
8、e ijEeprogramming. We compute our estimator of the true integral curve starting at a given point by using Eulers method to numerically solve the ODE ),87()0(xgenerated by the smoothed field. Simultaneously we track the covariance matrix of the estimator of the integral curve, in order to obtain conf
9、idence ellipses along the integral curve, which are then plotted in three-dimensional space. Lastly, we analyse the method based on the concept of degree of confidence and improve the program in order to make the confidence ellipses tube contain the true integral curve well and the program run faste
10、r.Key Words: B-spline Eulers method the degree of confidence confidence ellipses integral curves 苏州大学本科生毕业设计（论文）3第 1 章 前言1.1 脑图像技术背景知识介绍脑功能成像是使用脑局部成像技术，完全无损伤地通过图像扫描显示出脑的高级活动的一种新方法。轴突（Axon）是由神经元，即神经细胞的细胞本体长出突起的，其功能是传递细胞本体的动作电位至突触。神经系统中，轴突是主要的神经信号传递渠道。大量轴突牵连一起，以其外型类似而称为神经纤维。现代神经学家在研究神经纤维的位置时，常用的脑图像技术是
11、扩散张量成像。在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。在脑图像技术中关键的一步是求出满足某常微分方程的积分曲线，常用方法是根据非线性方程的牛顿迭代法构造一个用于非线性常微分方程初值问题数值解的迭代解法。在2007年，Institute of Mathematical Statistics的研究人员Koltchinskii,Sakhanenko and Cai主要运用局部光滑的方法从随机场数据中提取出微分方程的函数形式，主要是在每个数据所对应点的小领域内来进行线性回归。虽然能较好的拟合出积分曲线的精确解，但是随着随机数据量的不断增大，需要进行线性回归
12、的次数也越来越多，从而导致计算机工作量的大幅度增加，运行时间较长，不能高效地解决实际问题。所以本文将通过研究，设计出一个新的解法，运用计算机软件编写出程序，且不断的改善，最后得到运算速度快且便于非数学类专家使用的方法, 利于促进脑科学的研究。相信这将给脑神经医学研究提供有力的统计工具，并且在核磁共振成像等物理方面也有重要的统计运用。1.2 本文所涉及理论知识的简单介绍 插值方法在科学研究和生产时间活动中所遇到的大量函数，有相当一部分是通过观测或实验得到的，虽然其函数关系 在某个区间a,b上是存在的，但却不知道具体的解析表达式，)(xfy只能通过观测或实验得到一些离散点的函数值、导数值，因此希望
13、对这样的函数用一个简单的解析表达式近似的给出整体上的描述。在数学上，即 在某个区间a,b 上存在且连)(xfy苏州大学本科生毕业设计（论文）4续，但不知道解析表达式，只给出a,b上离散点 的函数值 ，需要计算 在ix)(ixfy)(xfya,b上其他点的函数值。完成这项工作的方法有几种，如拉格朗日插值、分段 3 次 Hermite 插值和三次样条插值等。实践表明，拉格朗日插值和 Hermite 插值函数对于结点较多且拟合线型复杂的情况，只能保证曲线的连续性，却不能保证曲线的光滑性(即各段连续点处导数的连续性不能保证)。要保证曲线连续且曲率也连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。对于基点较多且分布不规则的神经纤维情况，做一个
