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1、2016 中考数学数学思想方法专题复习学案数学思想方法【题型特征】 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序,是数学思想的具体反映对于学习者说,运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种积累达到一定程度就会产生飞跃,从而上升为数学思想,一旦数学思想形成之后,便对数学方法起着指导作用因此,人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念数学思想方法在初中数学中常见如下四大数学思想方法:(1)转化化归的思想方法;(2)数形结合的思想方法;(3) 方程与函数的思想方法;(4) 分类讨论的思想方法【解题策略】 (1)转化化归的思想方法: 将不熟悉和难
2、解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便于解决如解分式方程时,我们将其转化为整式方程解、一元二次方程我们将其转化为一元一次方程解、四边形我们将其转化为三角形研究、立体图形将其转化为平面图形研究等(2)数形结合的思想方法:数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题(3)方程与函数的思想方法:用运动、变化的观点,分
3、析研究具体问题中的数量关系,通过将问题转化为函数和方程模型解决就体现了方程与函数的思想方法具体地,函数思想,是指用函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组), 然后通过解方程(组) 或不等式 (组)使问题获解有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的(4)分类讨论的思想方法:当求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性时,就要进行分类讨论比如前面等腰三角形、直角三角形的有关计算问题、圆的有关问题(垂径定理计算问题、弦所对的圆周角的
4、大小问题、位置关系问题等)中,往往因为已知的不确定性,需要分类讨论这些同学们应引起重视,否则可能会出现漏解类型一转化化归的思想方法典例 1(201 四川凉州)先化简,再求值:【技法梳理】 解题过程体现了部分向整体的转化就是考虑问题时不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观上、整体上认识问题的实质,把一些彼此独立,但实质上又相互紧密联系着的量作为整体处理举一反三1 (201湖北荆门)如图,已知圆柱底面的周长为 4d,圆柱高为2d,在圆柱的侧面上,过点 A 和点嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为() (第 1 题)A 4 dB 2 d2
5、 dD 4 d【小结】 转化就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种方法将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题类型二数形结合的思想方法典例 2(201 河北)如图,将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后,拼成面积为 2 的正方形,则 n()A 2B 3 4D 【解析】 如图所示:将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后,拼成面积为 2 的正方形,则 n 可以为 3,4,
6、故 n2【全解】 A【技法梳理】 利用矩形的性质以及正方形的性质,结合勾股定理得出分割方法即可举一反三3 (201宁夏 )实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是()(第 3 题)A a+b=0B baab|a|【小结】 利用数形结合的思想求解更形象直观数形结合的思想方法是指将数(量) 与(图)形结合起进行分析、研究、解决问题的一种思维策略本题通过图形语言,发现问题结论,实现数与形的完美结合类型三方程与函数的思想方法典例 3(201 安徽)如图,矩形 ABD 中,AB=3,B=4, 动点 P 从A 点出发,按 AB的方向在 AB 和 B 上移动,记 PA=x,点 D 到直线PA
7、的距离为 ,则关于 x 的函数图象大致是( )【全解】 点 P 在 AB 上时,点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度,点 P 在 B 上时,根据同角的余角相等求出APB=PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到与 x 的表达式,从而得解具体过程如下:点 P 在 AB 上时,0x3,点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度,是定值4点 P 在 B 上时,3x,APB+ BAP=90,PAD+BAP=90,APB= PAD又B=DEA=90,ABPDEA 纵观各选项,只有 B 选项图形符合故选 B举一反三4 (201东德州)如图,在一张矩形纸片 ABD 中,AB=4,B=8,点E,F 分别
8、在 AD,B 上,将纸片 ABD 沿直线 EF 折叠,点落在 AD 上的一点 H 处,点 D 落在点 G 处,有以下四个结论:四边形 FHE 是菱形;E 平分DH;线段 BF 的取值范围为 3BF4;当点 H 与点 A 重合时,EF=2 以上结论中,你认为正确的有()个( 第 4 题)A 1B 2 3D 4【小结】 本类题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点的位置分情况讨论对于一些需要用运动、变化的观点,分析研究问题中的数量关系的问题,我们可以通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究,从而使问题获得解决这些都体现了方程与函数的思想方法类型四分类讨论的思想
9、方法典例 4(201 江苏无锡)如图(1),已知点 A(2,0),B(0,4),AB的平分线交 AB 于,一动点 P 从点出发,以每秒 2 个单位长度的速度,沿轴向点 B 作匀速运动,过点 P 且平行于 AB 的直线交 x 轴于 Q,作P,Q 关于直线的对称点,N 设 P 运动的时间为 t(02)秒(1)求点的坐标,并直接写出点,N 的坐标( 用含 t 的代数式表示);(2)设 N 与AB 重叠部分的面积为 S试求 S 关于 t 的函数表达式;在图(2)的直角坐标系中,画出 S 关于 t 的函数图象,并回故 S 是否有最大值?若有 ,写出 S 的最大值;若没有,请说明理由(1)(2)【全解】
10、(1)如图(1),过点作 Fx 轴于点 F,E轴于点 E,(1)由题意,易知四边形 EF 为正方形,设正方形边长为 xE x 轴,P=2QP(0,2t),Q(t,0)对称轴为第一象限的角平分线,对称点坐标为:(2t,0),N(0,t)(2) 当 0t1 时,如图(2)所示,点在线段 A 上,重叠部分面积为SN(2)当 12 时,如图(3) 所示,点在 A 的延长线上 ,设 N 与 AB 交于点 D,则重叠部分面积为 SDN(3)设直线 N 的表达式为=x+b,将(2t,0),N(0,t)代入得画出函数图象,如图(4)所示:(4)观察图象,可知当 t=1 时,S 有最大值,最大值为 1【技法梳理
11、】 (1)如图(1), 作辅助线,由比例式求出点的坐标;(2) 所求函数表达式为分段函数,需要分类讨论图(2), 图(3)表示出运动过程中重叠部分 (阴影)的变化,分别求解;画出函数图象,由两段抛物线构成观察图象,可知当 t=1 时,S 有最大值举一反三(201四川泸州 )已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2-2(+1)x+2+=0 的两实数根(1)若 (x1-1)(x2-1)=28,求的值;(2)已知等腰 AB 的一边长为 7,若 x1,x2 恰好是 AB 另外两边的边长,求这个三角形的周长 【小结】 分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点,然后根据某一种属性将数学
12、对象区分为不同种类的思想方法分类讨论能克服思维的片面性,防止漏解类型一1 (201江苏连云港) 若 ab=3,a-2b=,则 a2b-2ab2 的值是 4 (201东东营)【探究发现】如图(1), AB 是等边三角形,AEF=60,EF 交等边三角形外角平分线 F 所在的直线于点 F,当点E 是 B 的中点时,有 AE=EF 成立;【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE,EF 的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:当点 E 是直线 B 上(B,除外)任意一点时(其它条不变), 结论 AE=EF仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点 E 是线段 B 上的任意一点
13、”;“点 E 时线段 B 延长线上的任意一点”;“点 E 时线段 B 反向延长线上的任意一点”三种情况中 ,任选一种情况,在图(2)中画出图形,并证明 AE=EF【拓展应用】当点 E 在线段 B 的延长线上时,若 E=B,在图(3)中画出图形,并运用上述结论求出 SABSAEF 的值A 12B 1=212D 以上说法都不对 A x-2-228 (201黑龙江黑河)如图,在在平面直角坐标系 x 中,有一个等腰直角三角形 AB,AB=90,直角边 A 在 x 轴上,且 A=1 将 RtAB绕原点顺时针旋转 90得到等腰直角三角形 A1B1,且 A1=2A,再将RtA1B1 绕原点顺时针旋转 90得
14、到等腰三角形 A2B2,且A2=2A1,依此规律,得到等腰直角三角形 A201B201,则点 A201 的坐标为 (第 8 题)9 (201四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2=; sin2A3+sin2B3= (1)观察上述等式,猜想:在 RtAB 中,=90, 都有 sin2A+sin2B= (2)如图 (4),在 RtAB 中,=90,A,B,的对边分别是 a,b,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想类型三10 (201安徽)如图,RtAB 中,AB=9,B=6,B=90,将 AB折叠,使 A 点与 B 的中
15、点 D 重合,折痕为 N,则线段 BN 的长为( ) 11 (201湖北孝感)正方形 A1B11,A2B221,A3B332,按如图的方式放置点 A1,A2,A3,和点 1,2,3,分别在直线=x+1 和 x 轴上,则点 B6 的坐标是 13 (201四川广安 )如图,矩形 ABD 的长为 6,宽为 3,点 1 为矩形的中心,2 的半径为 1,12AB 于点 P,12=6 若2 绕点 P 按顺时针方向旋转 360,在旋转过程中,2 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现() ( 第 13 题)A 3 次 B 4 次次 D 6 次类型四14 (201甘肃兰州)如图,在平面直角坐标系中,四边形 BD 是边长为 4 的正方形,平行于对角线 BD 的直线 l 从出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,运动到直线 l 与正方形没有交点为止设直线 l 扫过正方形 BD 的面积为 S,直线 l 运动的时间为 t(秒),下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是()(第 14 题)1 (201湖北襄阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形 DE 的三个顶点分别是(3,0),D(3,4),E(0,4) 点 A 在 DE 上,以 A 为顶点的抛物线过点,且对称轴 x=1 交
