力 物体的平衡《奥赛讲义》

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1、奥赛培训讲义力物体的平衡1第 O 部分 绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称 IPhO） 1967 年第一届， （波兰）华沙，只有五国参加。 几乎每年一届，参赛国逐年增加，每国代表不超过 5人。 中国参赛始于 1986年的第十七届，此后未间断，成绩一直辉煌。 1994 年第二十五届，首次在中国（北京）承办。 考试内容：笔试和试验各 5小时，分两天进行，满分各为 30分和 20分。成绩最佳者记 100% ，积分在 90%以上者获金奖，78%89 者获银奖，6577%者获铜奖。2、国家（Chinese Physics Olympiad

2、 简称 CPhO）1984 年以前，中学物理竞赛经常举行，但被冠以各种名称，无论是组织，还是考纲、知识体系都谈不上规范。 1984 年开始第一届 CPhO，此后每学年举办一届。 初赛：每年九月第一个星期天考试。全国命题，各市、县组考，市统一阅卷，选前 30名（左右）参加（全省）复赛。复赛：九月下旬考试。全省命题，各省组织。理论考试前 20名参加试验考试，取理论、试验考试总分前 10名者参加省集训队。集训队成员经短期培训后推荐 37名参加（全国）决赛。决赛：全国统一组织。按成绩挑选 1525名参加国家集训队，到有关大学强化训练，最后从中选拔 5名优秀队员参加 IPhO 。 满分 140分。除初赛

3、外，均含理论和试验两部分（试验满分 60分） 。3、湖南省奥赛简况 至 1998年，湖南选手获 CPhO决赛一等奖 29人次，占全国的 18.24% ；在 IPhO中获金牌 5枚、银牌 2枚、铜牌 2枚，居各省之首。 题型与风格：初赛第十一届（1992 年）开始统一，只有填空和计算。复赛第十三届（1994 年）开始统一，只有计算题六个，考试时量均为 3小时。二、知 识体系1、高中物理的三档要求：一般要求（会考）高考要求竞赛要求。竞赛知识的特点：初赛对高中物理基础融会贯通，更注重物理方法的运用；复赛知识点更多，对数学工具的运用更深入。2、教法贯彻 高一：针对“高考要求” ，进度尽量超前高一新课，

4、知识点只做有限添加。目标瞄准初赛过关。 高二：针对“竞赛要求” ，瞄准复赛难度。高二知识一步到位，高一知识做短暂的回顾与加深。 复赛对象在约 15天的时间内模拟考试，进行考法训练。3、教材范本：龚霞玲主编奥林匹克物理思维训练教材 ，知识出版社，2002 年 8 月第一版。推荐典型参考书目 孙尚礼 毛 瑾主编高中物理奥林匹克基础知识及题解 （上、下册） ，科学技术出版社，1994年 10月第一版；奥赛培训讲义力物体的平衡2 张大同主编通向金牌之路 ，陕西师范大学出版社（版本逐年更新） ； 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编物理奥林匹克竞赛教程 ，湖南师范大学出版社，1993年 6月第一版； 湖南

5、省奥林匹克委员会物理分会、湖南省物理奥林匹克培训基地编新编物理奥林匹克教程 ，湖南师范大学出版社，1999 年 5月第一版； 舒幼生主编奥林匹克物理 （分 1、2、3 多册出版） ，湖南教育出版社，第一册 1993年 8月第一版。第一部分 力物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达： + = 。avbc名词： 为“和矢量” 。法则：平行四边形法则。如图 1 所示。和矢量大小：c = ，其中 为 和cosab22 av的夹角。bv和矢量方向： 在 、 之间，和 夹角 = arcsincvabavcosab2in22、减法表达： = 。ac名词： 为“被减数矢量” ， 为“减数矢量”

6、， 为“差矢量” 。vbvav法则：三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a = ，其中 为 和 的夹角。cosb2 cvb差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 T 内和在 T 内的平均加速412度大小。奥赛培训讲义力物体的平衡3解说：如图 3所示，A 到 B点对应 T 的过程，A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别4121设为 、 和 。vBC根据加速度的定义 = 得：

7、 = ，avt0ABavAt= ACavAt由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = 1vB， = ，根据三角形法则，它们在图 3 中Av2CvA的大小、方向已绘出（ 的“三角形”已被拉伸成一条2直线） 。本题只关心各矢量的大小，显然：= = = ，且： = = ， = 2 = AvBCTR1v2ATRvATR4所以： = = = ， = = = 。ABa1tv4228ACa2t428（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆 周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达： = avbc名词： 称“矢量的叉积” ，

8、它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中 为 和 的夹角。意义：avb的大小对应由 和 作成的平行四边形的面积。vavb叉积的方向：垂直 和 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。显然， ，但有： = avbavbav 点乘奥赛培训讲义力物体的平衡4表达： = cavb名词：c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos，其中 为 和 的夹角。avb二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成 Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解

9、第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件： = 0 ，或 = 0 ， = 0FvxyF例题：如图 5所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端 L/4处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按 实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推知，N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时， N 就

10、过重心了）。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件： = 0 ，或 M + =M - Mv如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课奥赛培训讲义力物体的平衡51、如图 7所示，在固定的、倾角为 斜面上，有一块可以转动的夹板（ 不定） ，夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体，试求： 取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量 G和 N1进行平移

11、，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。由于 G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当 增大导致 N2的方向改变时，N2的变化和 N1的方向变化如图 8 的右图所示。显然，随着 增大，N 1单调减小，而 N2的大小先减小后增大，当 N2垂直 N1时，N 2取极小值，且 N2min = Gsin。法二，函数法。看图 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：= ，即：N 2 = ， 在 0 到 180之间取值，N 2的极值讨论是很容易的。sin2iGsin答案：当 = 90时，甲板的弹力最小。2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时间 t 的变

12、化规律如图 9所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力 N持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力 f = N ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力 f G ，与 N没有关系。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f G ，而在减速时 f G 。答案：B 。奥赛培训讲义力物体的平衡63、如图 11

13、所示，一个重量为 G的小球套在竖直放置的、半径为 R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由长度为 L（L2R） ，一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B点。试求弹簧与竖直方向的夹角 。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本来就是直角三角形） ；利用正、余弦定理； 利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移，如图 12所示，其中 F表示弹簧弹力，N 表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力 N 可不可以沿 图 12 中的反方向？（正

14、交分解看水平方向平衡不可以。 ）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 AOB是相似的，所以：RABGF由胡克定律：F = k（ - R） 几何关系： = 2Rcos 解以上三式即可。答案：arccos 。)GkR(2L（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数 k较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么 变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心 O的正上方有一定滑轮，一根轻绳 跨过滑轮将一小球从图 13所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化？解：和上题完全相同。答：T 变小，N

15、 不变。4、如图 14所示，一个半径为 R的非均质圆球，其重心不在球心 O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B点与斜面接触，已知 A到 B的圆心角也为 30。试求球体的重心 C到球心 O的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心 C在 OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案： R 。3（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将 长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 的斜面上，最多能 码多少 块？奥赛培训讲义力物体的平衡7解：三力共点知识应用。答： 。ctgba4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为 m1和 m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45和 30，如图 15所示。则 m1 : m2为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图 16所示。首先注意，图 16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为 。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等