《2011届高考数学考点知识专题总复习数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学考点知识专题总复习数列的极限（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 届高考数学考点知识专题总复习数列的极限数列的极限1 数列极限的定义：一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列an的项 an 无限地趋近于某个常数 a（即|ana|无限地接近于 0） ，那么就说数列an以 a 为极限注：a 不一定是 an中的项2 几个常用的极限： =（为常数）; =0; qn=0（|q| 1）3 数列极限的四则运算法则：设数列an 、 bn ，当 an=a, bn=b 时， （anbn）=ab;（an = （b0 ） 点击双基1 下列极限正确的个数是 =0（0） qn=0 =1 =（为常数）A2B34 D 都不正确解析:正确答案:B2 n（1 ） （1 ） （1
2、）（1 ） 等于A0 B1 2 D3解析: n（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） = n = =2答案: 典例剖析【例 1】 求下列极限：（1） ;（2） （ n）;（3） （ + + ）剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以 n2 后再求极限；（2）因 与 n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1） = = （2） （ n）= = = （3）原式= = = （1+ ）=1评述:对于（1）要避免下面两种错误：原式= = =1, （2n 2+n+7）, （n2+7）不存在，原式
3、无极限对于（2）要避免出现下面两种错误： （ n）= n=0;原式= n= 不存在对于（3）要避免出现原式= + + =0+0+0=0 这样的错误【例 2】 已知数列 an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lg，其中 n 是大于 1 的整数，是正数（1）求数列an的通项公式及前 n 和 Sn；（2）求 的值解:（1）由已知得 anan1,an是以 a13 ，公比为的等比数列，则an3n1Sn （2） 当=2 时，原式 ;当2 时，原式 ;当 02 时，原式= 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用【例 3】 已知直线 l:xn=0 （nN *）,圆: （x+1）2+（+1
4、 ）2=1,抛物线 :=（x1）2,又 l 与交于点 A、B，l 与 交于点、D，求 剖析:要求 的值，必须先求它与 n 的关系解:设圆心（1,1）到直线 l 的距离为 d,则 d2= 又 r=1,|AB|2=4（1d2）= 设点（x1,1）, D（x2,2） ，由 nx2（2n+1 ）x+n=0,x1+x2= , x1x2=1（x1x2）2= （x1+x2）24x1x2= ,（12）2= （ ）2= ,|D|2=（x1x2）2+ （12）2= （4n+1） （n2+1） = = =2评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题要求极限，需先求 ,这就要求掌握求弦长的方法【例 4】 若数列an的首
5、项为 a1=1,且对任意 nN*,an 与 an+1 恰为方程 x2bnx+n=0 的两根,其中 0|1,当 （b1+b2+bn ）3,求的取值范围解:首先,由题意对任意 nN*,anan+1=n 恒成立 = = =又 a1a2=a2=a1,a3,a,a2n1, 是首项为 1,公比为的等比数列 ,a2,a4,a6,a2n,是首项为 ,公比为的等比数列其次 ,由于对任意nN*,an+an+1=bn 恒成立 = =又 b1=a1+a2=1+,b2=a2+a3=2,b1,b3,b,b2n1,是首项为 1+,公比为的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为 2,公比为的等比数列, （b1+b2+b
6、3+bn）= （b1+b3+b+ ）+ （b2+b4+）= + 3解得 或10|1,0 或1 0故的取值范围是（1,0）（0, 评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于的不等式,即将bn的各项和表示为关于的解析式,显然“ 桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口 闯关训练夯实基础1 已知 a、 b、是实常数，且 =2, =3,则 的值是A2 B3 D6解析:由 =2,得 a=2b由 =3,得 b=3,= b =6 = = =6答案:D2（2003 年北京）若数列an的通项公式是 an= ,n=1,2,则 （a1+a2+an）等于A B D 解析:an= 即 a
7、n= a1+a2+an=（21+23+2 +）+（32+34+36+） （a1+a2+an）= + = 答案:3（2004 年春季上海）在数列an中，a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n,点（ , ）在直线 x =0 上，则 =_解析:由题意得 = （n2） 是公差为 的等差数列， = = +（n1） = nan=3n2 = = =3答案:34（2004 年 上海,4）设等比数列an（ nN ）的公比 q= ,且 （a1+a3+a+a2n1）= ,则 a1=_解析:q= , （ a1+a3+a+a2n1）= = a1=2答案:2（2004 年湖南,理 8）数列an中,a1= ,an+an+
8、1= ,nN*,则 （a1+a2+an）等于A B D 解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2） +（a2+a3 ）+（a3+a4）+（an 1+an） +an= + + + +an原式= + + an = （ + + an）an+an+1= , an+ an+1=0 an=0答案:6 已知数列an满足（ n1）an+1= （n+1） （an 1）且 a2=6,设bn=an+n（ nN*）（1）求bn 的通项公式；（2）求 （ + + + ）的值解:（1）n=1 时，由（ n1）an+1=（n+1） （an1）,得 a1=1n=2 时， a2=6 代入得 a3=1 同理 a4=28,
9、再代入 bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2要证 bn=2n2,只需证 an=2n2n当 n=1 时，a1=2121=1 成立假设当 n=时，a=22成立那么当 n=+1 时，由（1）a+1=（+1） （ a1）,得 a +1= （a1）= （ 221）= （2+1 ） （1）=（+1） （2+1）=2（+1）2（+1）当 n=+1 时，an=2n2n 正确，从而 bn=2n2（2） （ + + ）= （ + + ）= + + = 1 + + = 1+ = 培养能力7 已知数列an、bn都是无穷等差数列 ,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2
10、与 a3 的等差中项 ,且= ,求极限 （ + + ）的值解:an、bn 的公差分别为 d1、d22b2=a2+a3,即 2（2+d2 ）=（3+d1）+（ 3+2d1）,2d23d1=2又 = = = ,即 d2=2d1,d1=2,d2=4an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2 = = （ ）原式= （1 ）= 8 已知数列an 、 bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中 pq 且 p1,q1,设 n=an+bn,Sn 为数列 n的前 n 项和，求 解:Sn= + ,当 p1 时， pq0,得 0 1,上式分子、分母同除以pn1，得 =p当 p1
11、时，0qp1, = =1探究创新9 已知数列an满足 a1=0,a2=1,an= ,求 an解:由 an= ,得2an+an1=2an1+an2,2an+an1是常数列2a2+a1=2,2an+an1=2an = （an1 ）an 是公比为 ,首项为 的等比数列an = （ ）n1an= （ ）n1 an= 思悟小结1 运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算2 熟练掌握如下几个常用极限：（1） =（为常数）;（2） （ ）p=0 （p0）;（3） = （N *,a、b、 、dR 且0）;（4） qn=0（|
12、q| 1） 教师下载中心教学点睛1 数列极限的几种类型：, ,00, 等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了2 重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用拓展题例【例题】 已知等比数列an的首项为 a1,公比为 q,且有 （ qn）= ,求首项 a1 的取值范围解: （ qn）= , qn 一定存在0|q|1 或 q=1当 q=1 时， 1= , a1=3当 0|q| 1 时，由 （ qn）= 得 = ,2a11=q0|2a11|10a1 1 且 a1 综上,得 0a11 且 a1 或 a1=3
