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1、 用心 爱心 专心 118 号编辑 - 1 -本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考函数中创新题举例随着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。 “出活题，考能力”要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法。对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。下面就函数中这类题型举例。例 1对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点。已知函数)(xfR0 0)(xf0)(xf。)1)(2baxf a（1） 当 时，求函数 的不动点；,(xf（2） 若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求 的取值范围；)a（3） 再（2）的条件下
2、，若 图像上 两点的横坐标是函数 的不动点，且 两点关于直(fyBA, )(xfBA,线 对称，求 的最小值。12akxyb解析：（1） ，因 为 为 不 动 点 ， 因 此 有 所以 或3)(f0x00203)(xxf1，所以 和 为 的不动点。30x)(f（ 2） 因 为 恒 有 两 个 不 动 点 ，)(f ,)1()(2ba（） ，由题设 恒成立，即对任意 ，01ba 04bR恒成立，所以有 ，所以 。42)(22 a10a（3）由（）式，得 ，由题设 即 ，设 的中点为 ，则ax21,1k12xyBA,E，因为 ，所以 ，所以有E),(2abEy22ab ，因为 ，当且仅当 即 时，
3、12410a12有最小值 。b4例 2定义在 上的函数 满足：如果对任意 都有 则R)(xf Rx21, )(21)(211 xffxf称函数 是 上的凹函数，已知二次函数 且 ，)(xf af)(0（1） 求证：当 时函数 是凹函数；0a)(f 用心 爱心 专心 118 号编辑 - 2 -（2） 如果 时 ，试求实数 的范围。1,0x)(xfa解析：（1）对任意的 ， 0,21R)2()(121 xfxff)( 212121221212 xaxaxax ， 故函数 是凹函数。0)(21)(2121 xfff)(f（2）由 )(axxf当 时， ，当 时即 恒成立Ra,12x即 恒成立，当 时
4、 ，41)2(1222xa ,0(x当 时， 取得最大值 ， 取得最小值x241)(20结合 ， 。0a)0,a例 3：对于在区间 上有意义的两个函数 与 ，如果对任意的 ，均有,nm(xf)g,nmx，则称 与 在 上是接近的，否则称 与 在 上是非接近)(xgf1)(xfg,n)(fg的，现有两个函数 与 ，给定区间3lo1afa1,01lo)(2 axfa。3,2a（1） 若 与 在给定区间 上都有意义，求 的取值范围;)(1xf2 ,（2） 讨论 与 在给定区间 上是否是接近的。)(f 32a解析：（1）依题意 .10,0,10 aa（2） 令 得)4(log)(2221 xxf )(
5、21xf 又 在 的右侧，.34loga ,Q3,ax在 上为减函数，从而),()(22ax 3, 用心 爱心 专心 118 号编辑 - 3 -，),4(log)2()(max aga )69(log)3(min aaxa于是成立的充要条件是 ，解此不等式组得 。1069la 12570故当 时， 与 在 上是接近的，当 时， 与125790a)(1xf23,a9a)(1xf在 上是非接近的。)(2xf3,注：不动点、凹凸函数、无限接近都是现代数学的概念，这种以高等数学知识为背景的试题越来越被重视看好。这就要求我们考生有综合运用数学知识的能力与素质。解决这类问题的关键是深刻理解定义，再运用函数与方程、函数与不等式等思想解决。
