aqwl踘排列组合知识点

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1、AC BD、 . 我 们 打 败 了 敌 人 。 我 们 把 敌 人 打 败 了 。高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数 中 、组合数 中 .mnA1,nN、 mnC,10,nm、 N(1)排列数公式 ； 。如!()2()()nL!()21nAL（1）1！+2！+3！+n！（ ）的个位数字为 （答：3） ；（2）满足*4,的 （答：8）286xAx(2)组合数公式；规定 ， .如已(1)(1)!()2mnnmnCmL01！ 0nC知 ，求 n，m 的值（答：mn2）16(3)排列数、组合数的性质： ； ； ；nC1nnC1kn； ； .121rnrrL!(1

2、)!()!()!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事） ，分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的） ，有序排列，无序组合 如（1）将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 种（答： ） ；（2） 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机53中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70） ；（3）从集合 和 中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中1,2,456能确

3、定不同点的个数是_（答：23） ；（4）72 的正约数（包括 1 和 72）共有 个（答：12） ；（5） 的一边 AB 上有 4 个点，另一边 AC 上有 5 个点，连同 的顶点共 10 个A点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90） ；（ 6）用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480） ；（7）同室 4 人各写 1 张贺年卡，然后每人从中拿1 张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9） ；（8） 是集合 到集合 的映射，f,Mabc1,0N且 ()fab，则不同的

4、映射共有 个（答：7） ；（9）满足 的集合c 4,321AUA、B、C 共有 组（答： ）43.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300） ；（2）某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上

5、的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100） ；（3）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156） ；（4）某班上午要上语、数、外和体育4 门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6） ；（5）四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第 2 或 3 号盒，而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_种（答：84；96） ；（6）设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯

6、和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0) ，(1,2)，(2,4)， (6,3)，(1,2)，( 2,1)可以确定三角形的个数为_（答：15） 。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） 。如（1）把 4名男生和 4 名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880）

7、；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20） ；（3）把一同排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） 。如（1）3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24） ；（2）某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演

8、前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42） 。（5）多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x，这 2 n 个学生排成前后两排，每排各 n 个学生的排法数为 y，则 x,y 的大小关系为_（答：相等） ；（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料，现有5 种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15） ；（2）某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也

9、不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36） ；（3）9 名翻译中，6 个懂英语，4 个懂日语，从中选拨 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90） ；（7）有序问题组合法。如（1）书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 2 本不同的书，有 种不同的放法（答：20） ；（2）百米决赛有 6 名运动A、B 、 C、D、 E、F 参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_种（答：360） ；（3）学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩且满足 ，则这四位同学考试成绩的所89,0,(1,2

10、4)ixixx有可能情况有_种（答：15） ；（4）设集合 ，对任意 ，有,5,678AxA，则映射 的个数是_（答： ） ；（5）如果一个三(1)23)ff:f3C位正整数形如“ ”满足 ，则称这样的三位数为凸数（如21a2321a且120、363、374 等） ，那么所有凸数个数为_（答：240） ；（6）离心率等于 (其qplog中 且 )的不同形状的的双曲线的个数为_（答：26） 。9,qp*,Np（8）选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况

11、种数是_（答：576） 。（9）至多至少问题间接法。如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15） ；（2）某运输公司有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队，每个车队至少抽 1 辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以n！。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗

12、小组，若把他们分配到 4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440） ；5.二项式定理： ，其中组合数01()nnrnrnabCabCabLL叫做第 r+1 项的二项式系数；展开式共有 n+1 项，其中第 r+l 项rnC1,12nT称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：,)L（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数。如在 的展开式中，第项的二项式系数为 ，第()naxb rnC项的系数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当 nrnC1的数值

13、不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1） 的展开式中常数项371(2)x是_（答：14） ；（2） 的展开式中的 的系数为_ 3410(1)()xL3（答：330） ；（3）数 的末尾连续出现零的个数是_（答：3） ；(4)0展开后所得的 的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7） ；(5)40(7)x若 的值能被 5 整除，则 的可取值23456165(2)Nx且 x的个数有_个（答：5） ；(6)若 二项式 按 降幂展开后，其,1,yxy且 9)(y第二项不大于第三项，则 的取值范围是 （答： ） ；

14、(7)函数(1,)的最大值是_（答：1024）.1010()sin)(si)fx6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ；mnC（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当 时,C2nrrn 12r的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第 1 项）的二项rn式系数 取得最大值。当 n 为奇数时，中间两项（第 和 1 项）的二项式系2nC2数 相等并同时取最大值。如（1）在二项式 的展开式中，系数最小的1n ()x项的系数为_（答：426） ；（2）在 的展开式中，第十项是二项式系数最大(1)n的项，则 _（答：

15、17,18 或 19） 。（3）二项式系数的和： ；01rnnCL2nC0213nnC。如（1）如果 ，则2n122187nnCCL（答：128） ；（2）化简0nCL（答： ）23()n n()n7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 、 “奇数 (偶次) 项”(1)f系数和为 ，以及“偶数 (奇次) 项”系数和为 。如（1）1)f 2已知 ，则 等于_（答：9290(13xaxaxL019|aaL） ；（2） ，则 942422401) 0102()()_（答：2004） ；（3）设04L,则 _（答：nn xxx2210( n220） 。213n8、系数最大项的求法：设第 项的系数 最大，由不等式组 确定 。如求rrA1rAr的展开式中，系数的绝对值