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1、12014 届扬州中学高三数学期末模拟试题 2014.1.11一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1. 已知集合 A1,1,2,3，B1,0,2，则 AB_ _.2. “ ”是“ ”的 条件（填“充分不必要 ”、 “必要不充分” 、1x2x“充要” 、 “既不充分也不必要” ）3. 设复数 z 满足 i(z1) 32i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是_ _4. 一组样本数据 8，12，10，11 ，9 的方差为 5. 若一个长方体的长、宽、高分别为 、 、1 ，则它的外接球的表面积是 32 .6. 如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的
2、茎叶图(其中 m 为数字 09 中的一个 )，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 ，则 的大小关系是_ yx,_(填 )yx,7. 在区间 ， 内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数有零点的概率为 ；22()fxab:ZXXK8. 公差不为零的等差数列 的第二、三及第六项构成等比数列，则n= 642531a9若 )23cos(,1)sin(则 的值为 10. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的左顶点为xOy2:1(0,)xyEab，过双曲线 的右焦点 作与实轴垂直的直线交双曲线 于 ， 两点， AEFEBC若 为直角三角形，则双曲线 的离心率为 BC11. 在平面
3、区域 上恒有 ，则动点 所形(,)|,|xy2axby(,)Pab2成平面区域的面积为 .12.已知关于 的不等式 （ 恰好有一解，x12bax)0,aRb则 的最小值为 21ab13.设函数 在 R 上存在导数 ，对任意的 有 ，)(xf )(xfx2)(xfxf且在 上， ，若 则实数 的取值,0.f ,2)(2afa范围为 ；14. 已知 为 的三个内角, 向量 ,CBA, )2sin3,2(cosBA.如果当 最大时,存在动点 , 使得 成等差2|M|,|M数列, 则 最大值是 ；|ABM二、解答题（本大题共 6 道题，共计 90 分）15.(本小题满分 14 分)已知函数 )cos(
4、incs2sin( xxxf 。（）求函数 )的单调递增区间；（）在 中，若 为锐角，且 )(Af=1， ， 3，求 边的ABC2BCAC长。16. （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，PB平面ABCD，CDBD，PBABAD 1，点 E 在线段 PA 上，且满足 PE2EA（1）求三棱锥 EBAD 的体积；（2）求证：PC 平面 BDEPAB CD(第 16 题)E317.（本小题满分 14 分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/辆，年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求，计
5、划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x（0 1 )，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量.（1）若年销售量增加的比例为 0.4 ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 应在什么范围内？（2）年销售量关于 x的函数为 )352(340xy，则当 x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？18.（本小题满分 16 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 21，短轴长为 4 3。（）求椭圆 C 的标准方程；（） ),2(nP， ),(Q是椭圆 C 上两个定
6、点，A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ两侧的动点。 若直线 AB 的斜率为 21，求四边形 APBQ 面积的最大值； 当 A、B 两点在椭圆上运动，且满足APQ= BPQ 时，直线 AB 的斜率是否为定值，说明理由。BAPQO xy18 题419. （本小题满分 16 分）已知函数 (),()lnxxfeage（ 是自然对数的底数）.（1）当 时，曲线 在 1处取得极值，求实数 a的值；0fy（2）若对于任意 ,()0R恒成立，试确定实数 的取值范围；（3）当 1时，是否存在 ,)x，使曲线 :()Cygxf在点0x处的切线斜率与 f 在 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 的个数；若不存
7、在，请说明理由.20.（本小题满分 16 分） 已知正项数列 的前 项和为 ，且 .nanS(2)4na*()N（1）求 的值及数列 的通项公式； 1（2）求证： ；3332152na *()（3）是否存在非零整数 ，使不等式112()()cosnna对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.*nN命题：高三数学组5理科（附加题）（总分 40 分，加试时间 30 分钟）1.（本小题满分 10 分）已知矩阵 ，其中 ，若点 P（1,1 ）在矩1aARa阵 A 的变换下得到点 P(0,-3)，（1）求实数 的值； （2）求矩阵 A 的特征值及特征向量a2 （本小题满分 10 分）已知
8、极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与 x 轴的正半轴重合曲线C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方程为22cos3in(t 为参数，t R) 试在曲线 C 上求一点 M，使它到直线 l 的距离3,1xy最大63.（本小题满分10分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面是以 ABC 为直角的等腰三角形，AC2，BB 1 3，D 为 A1C1 的中点，E 为 B1C 的中点(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦；(2)在线段 AA1 上取一点 F，问 AF 为何值时，CF平面 B1DF？4.（本小题满分 10 分）在一次运动会上，某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补
9、队员组成的代表队参加比赛（1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为 X，求随机变量 X 的数学期望；（2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的 5名队员中至少有 3 名主力队员，教练员有多少种组队方案？AB CC1B1A1FED7高三数学参考答案 1.11一、填空题1. ； 2. 充分不必要； 3. 1； 4. 2； 5. ； 6. ； 7. 2,1 6yx； 8. ； 9.97；10. 2； 11. 4； 12. 2 13. 14. 345 1,2二、解答题15. 解
10、：（） )cos(incs)2sin() xxxf xxcosincos2（2 分）21)4sin(2)1cos(sin1si2 xx（3 分）令 Zkk,42所以函数 )(xf的单调增区间为： Zk,8,3 （6 分）（）因为 )(Af=1，所以 12)4sin(2A所以2)4sin(因为 A 为锐角，所以 4524A （8 分）所以 3，所以 （9 分）8在ABC 中，由正弦定理得， 3sin4i2sini ACBAC即 （12 分）解得 6AC （14 分）16、 （本题满分 14 分）(1)过 作 ,垂足为 , EFBF因为 平面 ,PD所以平面 平面 .又平面 平面 ,ACA平面 ,
11、所以 平面 ,EFB即 为三棱锥 的高3 分D由 平面 得 ,PP故 ./因为 且A21故 5 分31EF因为 所以在直角梯形 中，.BDCABCD.90o因为 所以1A21S从而 8 分83EFVBADBDE(2)连结 交 于 ，连结 CG因为在直角梯形 中， 又因为.90o.1ADB所以 从而,45,245C因为 所以 10 分.BD.2因为 所以,1,/ACA .2:1:G又因为 ，所以.2EPEPG:所以 12 分/G9因为 平面 平面 ，PCEGBD.B所以 平面 14 分/17. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为 10（1+x ） ；出厂价为 13（1+0.7x ） ；
12、年销售量为 5000（1+0.4x ） ， 2 分因此本年度的利润为 13(0.7)1()50(1.4)yxxx(30.9)5.4x即： 2185,yx 6 分由 ， 得 6x 8 分（2）本年度的利润为 )5.48.9.0(324)5(3240)9.() 232 xxxxf则 ),97.6.7 x 10 分由 ,5,)(f或解 得 当 )(,0)(9,0 xffx时 ， 是增函数；当 )(,0)()1,95( xffx时 ， 是减函数.当 5时， 20)95()(ff取 极 大 值 万元， 12 分因为 ()fx在（0，1 ）上只有一个极大值，所以它是最大值， 14分所以当 95时，本年度的
13、年利润最大，最大利润为 20000 万元 15分18. 解：（）设 C 方程为 )0(12bayx 由已知 b= 32 离心率 2,cce 得 4a所以，椭圆 C 的方程为 126yx（）由（）可求得占 P、Q 的坐标为 )3,( ， ),2(Q，则 6|P，10设 A,1yxB( 2),直线 AB 的方程为 txy21，代人 126yx得 022t 由0,解得 4t，由根与系数的关系得121tx四边形 APBQ 的面积 223486txS故，当 ,0matAPQ=BPQ 时，PA、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为 k，PA 的直线方程为 )2(3xy与
14、162y联立解得048(8)432 kkxk（，21同理 PB 的直线方程 )2(3xky，可得 2243)(kx所以 221221 48,46kx2121 3)(3)(xkykAB2148438664)( 23321 kkxk所以直线 AB 的斜率为定值 119. 解：（1） ， ，由 在 1x处取得极值得：aexf)()(fy11=0，aef)1(，经检验 是 的极小值点；e)(xf（2） ()xf当 0a时， ()0, ()ffx在 R上单调递增，且当 x时，,xe，()f，故 ()fx不恒成立，所以 0a不合题意 ；6 分当 0a时， 0e对 R恒成立，所以 符合题意；当 时令 ()x
