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1、1,应用多元统计分析,第三章 多元正态总体 参数的假设检验(一),2,3.1 几个重要统计量的分布 一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布 四、威尔克斯统计量3.2 单总体均值向量的检验及置信域3.3 多总体均值向量的检验,第三章 多元正态总体参数的假设检验目 录(一),3,一元统计中,参数,2的检验涉及到一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地对参数向量和参数矩阵 涉及到的检验也有一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题。,第三章 多元正态总体参数的假设检验,4,在一元统计中，用于检验, 2的抽样分布有2分布,t 分布,F分布等,它们
2、都是由来自总体N(, 2)的样本导出的检验统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks 统计量,讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础.,第三章 多元正态总体参数的假设检验,5,设Xi N1(i ,2)(i =1,.,n),且相互独立，记,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,一般情况(i 0，2 1时),结论1,6,结论2 当i0(i=1,n),2 =1时,XX的分布常称为非中心2分布.,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要
3、统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,定义3.1.1 设n维随机向量XNn(,In) (0),则称随机变量XX为服从 n个自由度,非中心参数,的2分布，记为,7,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,则,结论3 设XNn(0 ,2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则 二次型 XAX/22(r) A2A(A为对称幂等阵).,特例:当A=In时,8,证明 (充分性)因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要
4、统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,必要性证明不要求(利用特征函数).,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量的二次型,则,(必要性) 因A为对称阵，所以存在正交阵使: Adiag(1,r，00).令 Y= X N（0,2 In ）,X=Y,且Y1，Yr相互独立同N(0,2)分布.故而,11,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量的二次型,(i1,r),且相互独立.,又已知XAX/22(r)，故的特征函数
5、为 (1-2it)- r /2,Zi=,i Zi的特征函数为(1-2iit)- 1 /2,又 Z1 Z2 . Zr且相互独立.故有,12,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量的二次型,diag(1,1,0,0)=A =AA =A2故 AA2，即A为对称幂等阵.,利用同分布的特征函数相同可得出 1r=1 .,13,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量的二次型,结论4 设XNn(,2In), A为对称阵,且rk(A)=r, 则二次型, A2A(A为对称幂等阵).,作业1:证明充分性(习题3-1 ）,(充分性
6、的证明类似于结论3中充分性的证明方法,必要性证明不要求),14,证明 (充分性)因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,其中非中心参数为,17,结论5 二次型与线性函数的独立性: 设XNn(,2In), A为n阶对称阵， B为mn阵,令XA
7、X,Z=BX(Z为m维 随机向量),若BA=O,则BX和XAX相互独立.,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,证明 设rk(A)=r0 (当r=0时A0，结论显然成立)，存在正交阵使,18,其中i是A的非零特征值(i1,r).因为,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,故有C1DrOmr ( Dr为对角矩阵, 且i0)，从而得C1 Omr ,19,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,即Y1，,Yn独立.,因为,20,第三章 多元正态总体
8、参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,而,故XAX与BX相互独立. 以上结论反之也成立：若BX和XAX相互独立 ,则BA=0.,21,结论6 两个二次型相互独立的条件: 设XNn(,2In), A，B为n阶对称阵则AB O XAX与XBX相互独立.,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,证明必要性的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得 A=diag(1,r 0,.,0) 令Y X，则YNn(,2In),作业2:证明必要性(习题3-2）,22,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个
9、重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,且,又因为 X BX=Y B Y= Y HY,其中H=B 。如果由AB=O,能够证明XBX可表示为Yr+1，,Yn的函数，即H只是右下子块H22为非O的矩阵。则XAX 与XBX相互独立。,23,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,证明 以下只证明必要性. 记rk(A)=r. 若r=n,由AB0,知B0nn,于是XAX与XBX独立； 若r=0时,则A0,则两个二次型也是独立的. 以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得,24,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分
10、量独立的正态变量二次型,其中i0为A的特征值(i=1,r).于是,令,r,25,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,由AB0可得DrH110， DrH120.因Dr为满秩阵,故有H110rr，H12 0r(n-r) . 由于H为对称阵，所以H210(n-r)r .于是,令YX，则Y Nn(,2In), 且,26,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型,由于Y1，,Yr ,Yr+1 ,Yn相互独立，故XAX与XBX相互独立.,27,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布
11、-一般p维正态变量的二次型,结论1 设XNp(,),0,则X-1 X2(p,)，其中-1 . 证明 因0,由正定阵的分解可得 C C(C为非退化阵).,令YC -1X (即XCY)，则 YNp(C -1,C -1 (C -1),因CC，所以YNp(C -1,Ip).,且 X-1XY C-1 CYY Y2(p,)，其中(C -1)(C -1)=-1.,28,结论2 设XNp(,),0,A为对称阵, rk(A)=r. 则(X-)A(X-) 2 (r) AAA .,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-一般p维正态变量的二次型,证明 因0,则rk()p.因为对称阵,故存在正
12、交阵,使得,29,令,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-一般p维正态变量的二次型,这里,注意:修改P55,30,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-一般p维正态变量的二次型,由以上“1.结论3”的证明知,即,两边左右乘1/2，即得 AAA .,31,结论3 设XNp(,),0,A和B为p阶对称阵,则 (X-)A(X-)与(X-)B(X-)独立 ABOpp.,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-一般p维正态变量的二次型,注意:修改P55倒2行,32,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布
13、-一般p维正态变量的二次型,由“1.结论6”知与相互独立 ,33,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-非中心 t 分布和F分布,定义3.1.2,定义3.1.3,34,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-非中心t分布的应用,一元统计中，关于一个正态总体N(,2)的均值检验中，检验H0：0时，检验统计量,否定域为|T|，其中满足： P|T|=(显著性水平).,35,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-非中心t分布的应用,当否定H0时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率P“以真当假” P|T|0 显著性水平.,当H0相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率P“以假当真” P|T|=1 0 =.,此时检验统计量Tt(n-1,),利用非中心 t分布可以计算第二类错误的值.,36,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布(威沙特分布), Wishart分布是一元统计中2分布的推广.多元正态总体Np(,)中,常用样本均值向量X作为的估计，样本协差阵SA/(n-1)作为的估计.由第二章的定理2.5.2已给出了XNp(,/n).S?.,
