广义相对论之引言泊松方程与张量基础知识

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1、广义相对论之一引言、泊松方程与张量基础知识张宏浩一些参考书 广义相对论引论 (俞允强 ) 广义相对论 (刘辽 ) 引力论与宇宙论 (温伯格 ) 广义相对论和宇宙学 (王永久 ) 广义相对论 (狄拉克 dirac) 爱因斯坦文集 （第 1卷 -第 3卷） 引力与时空 (瓦尼安 美 &鲁菲尼 意 ) 科普书 黑洞 (约翰 -皮尔 卢米涅 法 ) 科普书 宇宙的琴弦 (格林 美 ) 科普书 超越时空：通过平行宇宙、时间卷曲和第十维度的科学之旅 (加来道雄 ) 科普书 平行宇宙 (加来道雄 )234当我还是一个相当早熟的少年的时候，我就已经深切地意识到， 大多数人终生无休止地追逐的那些希望和努力都是毫

2、无希望的 。而且，我不久就发现了这种追逐的残酷，这在当年较之今天是更加精心地用伪善和漂亮的字句掩饰着的。每个人只是因为有个胃，就注定要参与这种追逐。而且，由于参与这种追逐，他的胃是有可能得到满足的；但是， 一个有思想、有感情的人却不能由此而得到满足。 这样，第一条出路就是宗教，它通过传统的教育机关灌输给每一个儿童。因此，尽管我是完全没有宗教信仰的双亲的儿子，我还是深深地信仰宗教，但是，这种信仰在我 12岁那年就突然中止了。由于读了通俗的科学书籍，我很快就相信， 圣经 里的故事有许多不可能是真实的。其结果就是一种真正狂热的自由思想，并且交织着这样一种印象：国家是故意用谎言来欺骗年青人的；这是一种

3、令人目瞪口呆的印象。 这种经验引起我对所有权威的怀疑 ，对任何社会环境里都会存在的信念完全抱一种怀疑态度，这种态度再也没有离开过我，即使在后来，由于更好地搞清楚了因果关系，它已失去了原有的尖锐性时也是如此。象我这种类型的人，其发展的转折点在于， 自己的主要兴趣逐渐远远地摆脱了短暂的和仅仅作为个人的方面，而转向力求从思想上去掌握事物 。 摘自： “ 爱因斯坦文集第一卷 ” 自述 阿尔伯特 爱因斯坦 （ Albert Einstein， 1879.3.14-1955.4.18），举世闻名的德裔美国科学家，现代物理学的开创者和奠基人。 1999年12月 26日，爱因斯坦被美国 时代 周刊评选为 “

4、世纪伟人 ” 。5俞允强， 广义相对论引论 （第二版），引言6狭义相对论的两个遗留问题： 惯性系如何定义？逻辑循环！ 定义：满足牛顿第一运动定律的参考系是惯性系。牛顿第一运动定律：在惯性系中，不受外力的物体将保持静止或匀速直线运动。 牛顿的万有引力定律不满足 Lorentz协变性。针对以上问题，爱因斯坦猜想：在一切参考系（包括惯性系和非惯性系），物理规律应具有相同的形式。我们先来介绍以下理论的发展历程：牛顿力学 狭义相对论 广义相对论78910从 伽利略相对性原理 到 狭义相对性原理 (1)伽利略相对性原理 的优点和缺点： 优点 ：在伽利略变换下，牛顿第二运动定律 F=ma在所有惯性系下具有相

5、同的形式。 缺点 ： 在每个非惯性系，须引入相应的惯性力 F，牛顿定律修正为 F+F=ma。牛顿力学规律在非惯性系与惯性系之间、在两个不同非惯性系之间都不相同。 Maxwell方程在伽利略变换下不具有协变性。这表明：要么是相对性原理不适用于电磁学；要么是相对性原理仍然成立，但伽利略变换或者 Maxwell方程需要修正。11狭义相对性原理 ： 庞加莱和爱因斯坦各自独立地发现了在两个惯性系之间的完整的 Lorentz变换，在 Lorentz变换下 Maxwell方程是协变的。 爱因斯坦发现，牛顿力学也可修正为 Lorentz协变的形式。这说明，力学和电磁学都具有 Lorentz协变性。 爱因斯坦将

6、其进一步推广：在惯性系中的所有物理规律都应具有 Lorentz协变性，这称为狭义相对论原理。 根据狭义相对论原理，所有惯性系完全平等，实验上只能确定不同惯性系之间的相对速度，无法确定哪个惯性系是绝对静止的。从 伽利略相对性原理 到 狭义相对性原理 (2)12在数学上，总可以这样定义惯性系： 定义满足牛顿第一运动定律的参考系为惯性系，相对于这个惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。 在惯性系中，力学上遵循牛顿三大运动定律；电磁学上遵循 Maxwell方程。在物理上， 自然界的哪些参考系是严格的惯性系呢？惯性系疑难13 由于地球既有自转又有绕太阳的公转，地面上的实验室参考系不是一个严格的惯性系

7、。 地球自转加速度约是地面上重力加速度的 千分之三 ，在日常的物理问题计算中可将地球参考系 近似地当成惯性系 。14 由于太阳也在绕着银河系中心转动，太阳也 不是一个严格的惯性系 。 太阳绕银心的公转加速度极小，约为 10(-10)m/s2，可见太阳是比地球好得多的近似惯性系 。15由于存在其它星系的引力作用，银河中心也不是一个严格的惯性系。但银河中心应该是比太阳近似程度更好的惯性系。16由于引力作用的普遍存在，自然界很难找到一个严格的惯性系。爱因斯坦想把适用于惯性系的物理规律推广到适用于一切参考系的物理规律，即把狭义相对性原理推广为广义相对性原理。17在非惯性系，牛顿第二定律修正为 F+F=

8、ma，其中 F是惯性力。若要使非惯性系与惯性系平等，就需要将惯性力 F看成是某一种真实的力，吸收到 F里面。18惯性力与引力的 相似之处 ： 惯性力与受力物体的 (惯性 )质量成正比，由惯性力导致的加速度与受力物体的固有性质无关。 引力与受力物体的 (引力 )质量成正比， 若物体的引力质量等于惯性质量 ，则由引力导致的加速度与受力物体的固有性质无关。这提示： 惯性力可能就是引力 。爱因斯坦提出了 等效原理 ：惯性力与引力对于一切物理现象的影响不可区分。19考虑到由引力导致的加速度与受力物体的固有性质无关，爱因斯坦猜测：也许引力场的效果可以用空间的几何结构来描述？ 弯曲空间的 度规张量 应该起到

9、 引力势 的作用。 度规张量（即引力势）应该依赖于能动张量（即引力源的物质分布） 。借助于黎曼几何，爱因斯坦找到了这个依赖关系，这后来被称为 爱因斯坦方程 。20 在 牛顿引力论 中，起到引力源作用的只有 质量 ，没有动量，因而描述的只是静止源产生的静态引力场。 在 爱因斯坦广义相对论 中，起到引力源作用的是 能动张量 ，这刻画了作任意运动的引力源产生的引力场。n 广义相对论是狭义相对论结合引力（非惯性系的惯性力）的推广。n 狭义相对论是广义相对论在无引力时（物体走测地线运动时其固有参考系是局域惯性系）的特殊情形。2122232425262728主要应用于高速状态、微观世界和宇观世界的爱因斯坦

10、相对论似乎离我们的日常生活很遥远，其实不然，它也有实用价值，一个著名的例子是 全球定位系统（ GPS） 。在十几年前， GPS还是高尖端的东西，而现在它已进入了普通人家，只要花几百块钱给车辆装一个 GPS导航仪，或花一、两千块钱买一个带 GPS的手机，就可以随时知道自己在地球上的准确位置。GPS是靠美国空军发射的 24颗 GPS卫星来定位的（此外还有几颗备用卫星），每颗卫星上都携带着原子钟，它们计时极为准确，误差不超过十万亿分之一，即每天的误差不超过 10纳秒（ 1纳秒等于 10亿分之一秒），并不停地发射无线电信号报告时间和轨道位置。这些 GPS卫星在空中的位置是精心安排好的，任何时候在地球上

11、的任何地点至少都能见到其中的 4颗。 GPS导航仪通过比较从 4颗 GPS卫星发射来的时间信号的差异，计算出所在的位置。GPS卫星以每小时 14000千米的速度绕地球飞行。根据狭义相对论，当物体运动时，时间会变慢，运动速度越快，时间就越慢。因此在地球上看 GPS卫星，它们携带的时钟要走得比较慢，用狭义相对论的公式可以计算出，每天慢大约 7微秒。广义相对论的实际应用29GPS卫星位于距离地面大约 2万千米的太空中。根据广义相对论，物质质量的存在会造成时空的弯曲，质量越大，距离越近，就弯曲得越厉害，时间则会越慢。受地球质量的影响，在地球表面的时空要比 GPS卫星所在的时空更加弯曲，这样，从地球上看

12、， GPS卫星上的时钟就要走得比较快，用广义相对论的公式可以计算出，每天快大约 45微秒。在同时考虑了狭义相对论和广义相对论后， GPS卫星时钟每天还要快上大约 38微秒，这似乎微不足道，但是如果我们考虑到 GPS系统必须达到的时间精度是纳秒级的，这个误差就非常可观了（ 38微秒等于 38000纳秒）。如果不校正的话， GPS系统每天将会累积大约 10千米的定位误差，是没有用的。为此，在 GPS卫星发射前，要先把其时钟的走动频率调慢 100亿分之 4.465，把 10.23兆赫调为10.22999999543兆赫。此外， GPS卫星的运行轨道并非完美的圆形，与地面的距离和运行速度会有所变化，如

13、果轨道偏心率为 0.02，时间就会有 46纳秒的误差。由于地球的自转， GPS导航仪在地球表面上的位移也会产生误差，例如当 GPS导航仪在赤道上，而 GPS卫星在地平线上时，由于位移产生的误差将会达到 133纳秒。 GPS导航仪在定位时还必须根据相对论进行计算纠正这些误差。可见 GPS的使用既离不开狭义相对论，也离不开广义相对论 。 GPS的使用是 1993年开始的，但是早在 1955年就有物理学家提出可以利用在卫星上放置原子钟来验证广义相对论了， GPS实现了这一设想，并让普通人也能亲身体验到相对论的威力。牛顿理论 vs 爱因斯坦理论牛顿理论： 万有引力定律 ： (引力 )质量 引力 牛顿第

14、二定律：力 +(惯性 )质量 加速度爱因斯坦理论： 爱因斯坦方程：质量 (能动张量 T_) 空间弯曲 (度规 g_) 测地线方程：空间弯曲 (度规 g_)联络 粒子运动轨迹 30我们先来回顾一下 牛顿引力论 。由于引力是保守力，可以定义引力势 。将一个引力质量为 m_G的测试粒子放置在引力场中，这个粒子受到的引力 F与它所在位置的引力势 之间的关系定义为若引力势 (r)是源自引力质量密度分布 (r)，则它们之间由 泊松方程 联系：31点源 产生的引力势满足的泊松方程我们下面两页就对这种特殊情形进行证明32两个点质量之间万有引力 F 点质量产生的引力势 点源产生的引力势满足的泊松方程的证明 (1

15、)33点源产生的引力势满足的泊松方程的证明 (2)经过下面两步，可得到点源产生的引力势满足的泊松方程： 将拉普拉斯算符作用于引力势 计算引力的散度 用矢量公式 (高斯定理 )从这种特殊情形归纳，可得到一般的泊松方程 3435等效原理36Principle of Equivalencen The principle of equivalence is an experiment in noninertial reference frames.n Consider an astronaut sitting in a confined space on a rocket placed on Earth. The astronaut is strapped into a chair that is mounted on a weighing scale that indicates a mass M.