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1、 5-1 刚体的定轴转动 一、刚体的平动 平动：在运动过程中，刚体上任意两点连线的方向始终保持不变。 第五章 刚体定轴转动 刚体 :一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中始终保持不变，即不考虑物体的形变。刚体是一个抽象的、理想的模型。 特点：刚体上每个点的位移、速度、 加速度相等。可以用一个质点 (质心 ) 代表刚体的运动。 Oxyz1. 转动： 刚体上的各点绕同一直线作圆周运动 。 该直线称为 转轴 。 2. 定轴转动： 转轴相对参考系固定不动 。 二、刚体的定轴转动 Pr矢径 转心 转轴 转动平面 特征 ：转动平面上各点绕转心做 圆周运动 ， 其角位移 、 角速度 、 角加速度相同 。
2、 但线位移 、 线速度 、 线加速度不同 。 2tnvrarar三、角速度矢量和角加速度矢量 zz右手螺旋关系 若做加速运动，角加速度与角速度方向相同；反之，则相反。 ddt 正角速度 负角速度 tnvraravzo rF1、转动平面内的力对定轴 z的力矩 M r Fs i nM r F F d大 小 ： 5-2 刚体定轴转动定律 一、对定轴的力矩 d方向：右手螺旋定则 M0,0 iiii MFFF0 , 2iiiiF M r FFF合外力为零，合外力矩一定为零吗？ zO Fr FFF/M r F /F F2、力不在转动平面内 改变轴的方向 的作用是什么？ /F在 定轴转动 中该力矩会被定轴的
3、支撑力矩抵消 i i iM r F r F M 刚体受到多个力的力矩等于各个力的力矩矢量和 4. 刚体中内力对定轴的力矩的矢量和等于零 3. 当有多个力作用于刚体的某点 jiij MM O jririjijF jiFdijMjiM二、刚体对定轴的角动量 1. 质点 对定轴的角动量 zo r vL r p r m v d大小： s i nL m r v p d方向：右手螺旋定则判断 L2. 刚体 对定轴的角动量 iLL i i i i i iL r p r m v 角动量 沿 着 z的方向，称为 正角动量 ， 角动量 逆 着 z的方向，称为 负角动量 。 2i i i i i i i iL r
4、p m r v m r 定轴转动时，刚体中的每一个质点都在做 圆周运动 zo r v2i i iL m r 角动量方向与角速度方向是一致的。 刚体 对定轴的角动量 2()i i iL L m r 定义 转动惯量 J 2iiJ m r 则： LJ p m v与 动 量 比 较 ：三、转动惯量 2iiiJ m r 1. 离散的质点系转动惯量的计算 转动惯量： 2iiJ m r 例： 如图正方形的边长为 l，它的四个顶点各有一个质量为 m的质点，求系统对z1,z2,z3轴的转动惯量 1z 2z3za bcd211:2z J m l222:z J m l233:2z J m l（具有 相加性 ） 刚体
5、的质量 转轴的位置 刚体的形状 dldm dsdm dVdm 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 为 刚体 线密度 线分布 面分布 体分布 2. 质量连续、均匀分布刚体的转动惯量 取质元 dm 为刚体体密度 为刚体面密度 2d J r d m求质元对轴的转动惯量： 2mJ r d m 求刚体对轴的转动惯量为： 例 1 求长为 L、质量为 m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 解： 取如图坐标， 222 202 12LCmLJ x d m x d x 220 /3L x d x m L2()2ACLJ J m可 见 ： x A B L/2 L/2 C A B L x dx x dx x
6、平行轴定理 : 2CJ J m d=m/L 取 线元： dm = dx， 2AJ x d m R O 例 2 求质量为 m、半径为 R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 22 2 2 20 2RJ R d m R d l R R m R d m d sdm 解： 取线元 dldm 2402221212 mRRr d rrdmrJ R 例 3 求质量为 m、半径为 R的匀质薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 取半径为 r 宽为 dr 的薄圆环 2()mR其 中 ：( 2 )mR其 中 ：2 r d rr dr 例 题 4 求质量为 m、半径为 R、长为 l 的匀
7、质圆柱体对其轴线的转动惯量。 解： 取薄圆盘 dm l dm 由上题 dmRdJ 221222121 mRdmRJ 几个常见的转动惯量： *圆环、圆筒（通过中心轴） J = mR2 *圆盘、圆柱（通过中心轴） *细棒（端点垂直轴） *细棒（质心垂直轴） 221 mRJ 231 mLJA 2121 mLJc 四、刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的角动量定理 dtLdM外作用于刚体的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率 ()d L d J dMJd t d t d t 外J刚体定轴转动的转动定律 d p d vF m m ad t d t 与牛顿第二定律比较 MJ 外 5-3 转动定律的应用
8、MJ外解 : 2122( 2 )mgR m m 21222mmgma联合解得： aRMJ外amTgm 22 对轮： 又有： 对 m2： 2mgm 2T1mR例 1 如图 ， 求 m2 的加速度 a， 轮子的角加速度 。 刚体定轴转动的转动定律： 2112T R m R 即 ： Ty例 2 质量为 mA的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B上， B 竖直悬挂 滑轮与绳索间无滑动 ， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计求两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？ AmBmCm解
9、 :隔离法，进行受力分析 APO xT1FNFAmyO T2FBPBmT2FT1FCPCF12 ?TTFFamF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2Ra 2CBABmmmgma2CBABAT1 mmmgmmF2)2(CBABCAT2 mmmgmmmF解得： O xT1FAmyO T2FBPBmT2FT1FCm212 CmR 2223431 mlmlmlJ (2)杆与竖直方向成 角时 3s i n s i n s i n22lM m g l m g m g l 外9 s i n8M gJl 外解： (1) 例 3 如图所示 。 求： (1)刚体绕轴 O的转动惯量 。 (2)杆与竖
10、直方向成 角时 , 小球的角加速度 。 Omlm,mgmg方向：向里 例 4 如图所示，主动轮 A半径为 R1，转动惯量为 J1，绕定轴 O1转动，从动轮 B半径为 R2，转动惯量为 J2，绕定轴 O2转动，两轮之间无相对滑动，若知主动轮受到的驱动力矩为 M，求两个轮的角加速度。 解：摩擦力矩带动从动轮运动。 1 1 1: rA M f R J 对1A B O1 O2 R1 R2 M 22 2 2: rB f R J 对1 1 2 2RR无相对滑动，意味着切向加速度相同 221 221 2 2 1MRR J R J 122 221 2 2 1M R RR J R J rfrf 5-4 刚体定轴
11、 转动的角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定律： dLMdt外221121ttM d t d L L L 外常矢量。则，若 外 JLLM ,0 0刚体定轴转动的角动量守恒定律： 图 5-12 常矢量。则，若外 JLLM ,0 0例题 1 如图所示，一长度为 l，质量为 m的细杆在光滑水平面内沿杆的垂向以速度 v平动，杆的一端与定轴 z碰撞后杆将绕 z轴转动，求杆转动的角速度。 z O dx x x 解： 碰撞前后 角动量守恒 刚好碰撞前的角动量（杆平动）： d L x d m v mx d x vl 0lmvL d L x d xl2mvl碰撞后的角动量 (杆转动 )： 213L J m l 角
12、动量守恒： 2123m v l ml 32vlv v 例题 2 如图所示，一匀质圆盘半径为 R，质量为 m1，以角速度 0绕盘心转动，一质量为 m2的子弹以速度 沿 角击入圆盘边缘，求击入后盘的角速度 R 解： 碰撞前后 角动量守恒 碰撞前的角动量： 21 2 1 01s i n2L m v R m R碰撞后的角动量： 222 2 112L m R m R碰撞前后角动量守恒 2 2 22 1 0 2 111s i n22m v R m R m R m R v m2 m1 v 0 5-5 刚体定轴转动中的功和能 一、力矩的功 zo rFd dr d A F d rMd s i nF r dc o
13、 sF r d c o sF d r 元功 : (质点 ) 经过一段角位移： A d A M d 合外力矩做功（刚体）： i i iA M d M d M d A 对刚体一对力矩做功为零： ( ) 0A M M d 力矩的功率： d A M dPMd t d t 二、转动动能 2 2 211()22k i i i i iiiE m r m r212 J 与质点动能比较： 212kE m vd A F d rP F vd t d t 对 比 ddtdJ三、刚体定轴转动的动能定理 A M d J d dJ 22211122JJ合外力矩的功等于刚体转动动能的增量 四、刚体的重力势能 均匀重力场中，刚体的 重心 和 质心 重合，对匀质对称的刚体，质心就在其 几何中心 。刚体的重力势能为： pcE m g h ch为重心高度 0h 处为重力势能零点 五、机械能守恒（只有保守力做功时） 例题 1已知棒长为 L，质量为 M 可绕杆上端水平轴 O 点转动，一质量为 m 的泥团以速度 打杆的中部并粘住。 求：杆刚开始摆动时的角速度及可摆动的最大角度。 解： 泥团与杆碰撞， 角动量守恒 2201()2 2 3LLm v m
