数学专业毕业论文-n元函数的微分中值定理及其应用

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1、n 元函数的微分中值定理及其应用数学系20021111班 指导教师 摘 要：对凸区域 上的 元可微函数，采用构造“辅助函数”的方法，把 元nRD n函数转化为一元函数，利用一元函数的微分中值定理，将一元函数微分中值定理推广到元，得到了 元函数的拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理和泰勒定理，并构造不同的n“辅助函数” ，得到了 元函数柯西定理的另一种证明方法，最后讨论了 元函数微分中值n定理的一些具体应用。关键词： 元函数；微分中值定理；辅助函数The Differential Mean-value Theorem in n-Variate Functionsand Its Application

2、Abstract: The n-variate functions defined on a convex domain in are converted to the nRsingle variate function by using the method of structuring auxiliary functions, and the differential mean-value theorems for single variate function are generalized to n-variate functions by means of the different

3、ial mean-value theorems for single variate function. Then the Lagrange Theorem, the Rolle Theorem, the Cauchy Theorem and the Taylors Theorem for n-variate functions are obtained. Another method of proving the Cauchy Theorem for n-variate functions is given by making up different auxiliary functions

4、. Some examples of application of the differential mean-value theorems for n-variate functions are furnished.Key words: n-variate functions; differential mean-value theorem; auxiliary functions1引言微分中值定理是微分学中的重要基本定理，是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论 1.在实际应用中，很多情况下都要突破一元微分学和平面领域这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具

5、，这就需要把它进行推广，使之也能够在 元微分学和 维空间下得以使用.文献2给出了 元函数的拉格朗日公式、n n罗尔定理的公式及柯西公式；文献3给出了二元函数的微分中值定理；文献4给出了多元函数的一阶泰勒公式；文献5和文献6给出了二元函数的 阶泰勒公式.本文在文献3中的二元函数微分中值定理的基础上给出了与文献2不同描述及证明过程的 元函数的微分中值定理，并在文献7给出的微分中值定理的一种新的证明方法的基础上给出了 元函数n的柯西定理的另一种证明方法，以及在文献4、5、6中的多元函数的一阶及 阶泰勒公式的基础上给出了 元函数的一阶及 阶泰勒公式及详细的证明，并讨论了 元函数的nn微分中值定理的应用

6、.2 元函数的微分中值定理n我们考虑 维欧氏空间 ， 是 的某个子集 到 的某个子集 的映射，即nnRfnA1RB为 元函数. .fD若区域 上任意两点的连线都含于 ，则称 为凸区域.若 为凸区域，则对任意两DD点 和一切 ，恒有xPxPnn),(),(210201 )10(.)(,)0202 xxnn2.1 元函数的拉格朗日定理定理 1 设 元函数 在凸开域 上连续，在 的所有内点都可微，则对 内nfnRDDD任意两点 ， ，),(020nxP ,),(020102 xxPn )1,0(使得（1）.),(),(),1 022010 021 ni innx nnxxxf fi 证明 令.),(

7、) 02010 ntttft )(t它是定义在 上的一元函数，由定理中的条件知 在 上连续，在 内可微.1,0 )(1,1,0于是根据一元函数微分中值定理， ，使得),().(01由复合函数的求导法则 )10(,),( ),()1010 0101 ni innx nnxxxf xxfi n 而 ),(),()( 01010 nnxfxf 所以 )10(,),( (),1 022010 21 ni innx nnxxxf fi 在定理 1 中，若 时，则由（1）式有n， )()( 0000 xxfxf )1(这就是一元函数的拉格朗日公式.2.2 元函数的罗尔定理n当 时， （1）式就成为),()

8、,( 01010 nnxfxxf .,(1010 ni innxfi )10(这就是 元函数的罗尔定理的公式.n定理 2 设 元函数 在凸开域 上连续，在 的所有内点都可微，对 内任fnRDDD意两点 ， 有),(010nxP ,),(020102 xxPn，则 ，使得)nfxf 1(， （2）0,(1010 ni innx xxfi在定理 2 中，若 时，则由（2）式有 ).(000f,x， )(00xf )1,(即， )(cf ),(0x这就是一元函数的罗尔定理的公式.2.3 元函数的柯西定理n定理 3 设 元函数 和 在凸开域 上连续，在 内关于各个变元具有连续fgnRDD的偏导数，对

9、内任意两点 ，D),(0210nxP,(20102 xxPn， （其中 ） ，则有 ni innxgi1010 0), 1 （3）)10(,),(,),(),(10101 01001 ni innxi innxxgf xgxxffii 证法一 首先证明 .用反证法，假设0),(,10nxg，即)(),( 01010 nnxgxxg.根据 元函数的罗尔定理， ，使, )1,(得.0),(1010 ni innx xxgi 与已知条件 矛盾.其次作辅助函数 ni innxi1010),( ),(),(),(),( ,) 0101010010 nnnn xgxtxtgxgxxgff ttt （其中

10、）t由定理中的条件知 在 上连续，在 内可微,且 ,因此根据一)(t,)( 0)(1元函数的罗尔定理,存在 使得 .)100由复合函数的求导法则 ,),(),(),( ),()( 101001010 0110 ni innxnni inx xxgxggfff ii 又 .所以)10(,),(,),(),(10101 01001 ni innxi innxxgf xgxxffii 证法二 首先证明 ，即),(, 01ng.为此，不妨先假设)(),( 01010 nnxgxxg .令, ， ),(),() 01010 nnxgxtxttG )1(t于是有 ，则在区间 上对函数 应用一元函数的罗尔定

11、理，故1(tG，使 .),0)由复合函数的求导法则. ni innx xxgGi1010),()( 所以.),(1010 ni innx xxi 但这与已知条件矛盾.故 .再作辅助函数0),(,10010 nngg)1(),(),(),() 01010010 txtxtfxxxgfft nnn 显然, 在 上连续，在 内可导,并且有)t.),(),(),(),( 0101001010 nnnn xxgxfxgxxf 由于 在 上连续,所以 在 上可以取得最大值与最小值,又由于)t(t,因此 在开区间 内至少存在一点 使 在 处取得最大值或最(1)(t)(t小值,又 在 内可导,根据费马定理,有

12、 , .)t100)(1由复合函数的求导法则,),(),(),( ,) 101001010 ni innxn i ix xfxgxxg gff ii 又 ,)(所以 )10(,),(,),(),(10101 01001 ni innxi innxxgf xgxxffii 在 元函数的柯西中值定理中,若 时,(3)式就成为n i,2,( )10(,),( (),1 022010 1 ni innx nnxxxf fi 这就是 元函数的微分中值定理的公式.在 元函数的柯西中值定理中,若 时,则由(3)式就有)10(,)()(00 xgfxgf这就是一元函数的柯西中值定理的公式.2.4 元函数的泰勒

13、定理n定理 4 设函数 在点 的某一邻域 内连),(21nxfu),(0210nxP )(0PU续,且具有一阶及二阶连续偏导数, ,则,210 ,使得)10(（4）,),(),()11020 0210Rxxf xfni iin nn 其中, niij jiji nnxxfR1 02201102 ),(! 称为 余项 4.Lagre证明 考虑函数, ,),() 02010 nxtxttxft 10t则, .),()00210nf ),(02010 nxf 由于函数 在点 的某一邻域 内连续,且具有,xu),21nxP (PU一阶及二阶连续偏导数,从而复合函数 在),() 02010 nxtxtt

14、ft的邻域内对 有连续的一阶及二阶导数.由一元函数的泰勒公式可以得到0tt, . （5）2)(!1)0()( tt由于, ni ii nxxtttxft1 02010 ),()( ,),( ,)(1 020102 nij jiji ni ii xxtttxf tttfdt 所以,ni iinxf1020),()(, nij jiji nnxxtttxft1 022002 ),)( 把 代入(5)式后再令 ,便得到泰勒公式(4).,0t 1t定理 5 设函数 在点 的某一邻域 内连),(21nxfu ),(0210nxP )(0PU续,且具有 阶连续偏导数, ,则1n (02010 ,使得)0(（6）,),(),(!1( 02