《九年级数学竞赛专题讲座_二次函数的图像与性质(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学竞赛专题讲座_二次函数的图像与性质(含答案)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -九年级数学竞赛专题讲座-二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1定义：形如函数 称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2(0)yaxbc2图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3性质对 的图像来讲，2(0)yaxbc（1）开口方向：当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下。0a（2）对称轴方程： 2a（3）顶点坐标： 4,bc（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若 ，则抛物线与 轴没有交点；若 ，则抛物线与 轴有一个交点；20bacx240bacx若 ，则抛物线与 轴
2、有两个交点，分别为 ， ； 2(,)c24(,0)bac另外，抛物线与 轴的交点为 .y0,c（5）抛物线在 轴上截出的距离为：x2baa（6） 与 的增减关系：y当 ， 时， 随 的增大而增大， 时， 随 的增大而减小；0a2bayxbxyx当 ， 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大.x 2a（7）最值：当 时， 有最小值，当 时， ；0ay2bxa4cby最 小 值 当 时， 有最大值，当 时，2a最 大 值 （8）若抛物线与 轴两交点的横坐标为 、 （ ） ，则：x1x212x当 时， 时， ； 时， ；0a120y或 0y当 时， 时， ； 时， .或4求解析式抛物线的解
3、析式常用的有三种形式： （1）一般式： 2(0)yaxbc（2）顶点式： ，其中 是抛物线的顶点坐标。()hka(,)hk（3）交点式： ，交点式只在抛物线与 轴有交点时才用到，式中 、12 x1x是抛物线与 轴交点的横坐标。2x- 2 -解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。二、例题解析例 1 设抛物线为 ，根据下列各条件，求 的值。21yxkk（1）抛物线的顶点在 轴上；（2）抛物线的顶点在 轴上；（3）抛物线的顶点 ；,（4）抛物线经过原点；（5）当 时， 有最小值；xy（6） 的最小值为 .y1解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 或k
4、0k1kk2k0k4例 2 设直线 与抛物线 的两个交点的横坐标分别为 和 ，且直线与 轴交点的xb2yax1xx横坐标为 ，求证： .3x123解：由题意得 和 为方程 的两个根，即 ，2k20axkb ，12ka12bx 1212x直线与 轴交点的横坐标为： 3kxb31 123x例 3 二次函数 ，当 时，有最大值 25，而方程 的两根 、2yaxc12x20axbc，满足 ，求 、 、 。39b解：设二次函数 ，2()(0)hk当 时，有最大值 25，即：顶点为12x 1,52 2()54yaax由已知得： 的两根为 、 ，满足20319 ()319根据两根之和与两根之积的关系解得 4
5、a ，即 ， ， .24yxb2c例 4 证明：无论 取任何实数值时，抛物线 是通过一个定点，而且这些a 1()24yxa抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。证明： 2 211() ()()()4yxxx当 时，10,ay- 3 -即无论 取任何实数时，已知抛物线总通过点 Ma 1,02又221()44ayxx故抛物线的顶点坐标为 2,即 ，消去 得，214axy21()yx这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上.例 5 已知抛物线 过 两点，若抛物线在 轴上截得的线段最短2(0)yaxbc,42x时，求这时的抛物线解析式。解：抛物线过 两点，代入解析式得0,43,4ba
6、c所以 22(3)yaxbc此抛物线在 轴上截得的线段长可表示为 22169(0)a当 ，即 时，抛物线在 轴上截得的线段最短，将 代入 ，得1429a9ax23b2b抛物线的解析式是 214yx例 6 如果二次函数 的图像的顶点坐标是 ，且直线 依次与 轴和抛物2abc2,44yxy线相交于 P、Q 、R 三点，PQ:QR=1:3 ，求这个二次函数解析式。解：图像的顶点坐标是 ，所以可设 （1）,4()yaxP 点的坐标是 ，设 Q、R 点的坐标为 和 ，则 ，0, 1,2,y12 ，22211()()xyx22(0)(4)PRxyxPQ:QR=1:3 且 P 在 QR 之处， PQ:PR=
7、PQ :（PQ+QR）1:4即 : =1:4, =4 （2）2221又 是抛物线与直线交点的横坐标1, ()4,4()0axxaxa 2)0由韦达定理，得124ax由（3）得， 同号，再由（2） ，得1, 214x ，从（4）得 或1x9（3）（4）- 4 - 或248yx21439yx例 7 已知：抛物线 交 轴于点 A、B ，交 轴于点 C，又ACB=90,2pxqytanCAOtanCBO2.（1）求抛物线的解析式。（2）设平行于 轴的直线交抛物线于点 M、N，是否存在以 MN 为直径且与 轴相切的圆？如果不存x x在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。分析：（1）欲求抛物线的解析式，即
8、求 p、q 的值，一方面，p、q 与方程 的两根有联20pq系，另一方面 q 等于线段 OC 的长，而 ,且 、 又是方程 的两根2OCABO的绝对值，这就使 p 与 q 能建立联系，从中求出 p、q；（2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。解 （ 1）设 A、B 两点的横坐标分别为 ，则 是方程 的两个根，且12,x12,x20pxq， ，120x2x120x在 RtABC 中，OC 为斜边 AB 上的高， OCq又 2q2因为抛物线不经过原点， 0,1故由三角函数的定义和 ，易得：12xtanCAO tan
9、CBOA2OCBx由题设，得 ，则1212xx11 p212,pq故抛物线得解析式为 y（2）设点 M、N 的坐标为 ，则 是方程 ，即34,r34,x21rx的两个根。0xr 3434,1x 23434()(1)xrr圆与 轴相切（假设圆存在） ，即 12Nrr解方程得： 12或所求圆的半径为 1 或 2.说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和 Rt等多方面的知识.CA BO xy- 5 -训练题班级 姓名 学号 1二次函数 图像抛物线的顶点坐标是_，对称轴方程_，与 轴(2)1yx x交点坐标_，与 轴交点坐标_；当 _时， 的最_值等于xy_，当 _时， 随
10、 增大而减小；当_时， ；当_时， 。yx00y2函数 是 的二次函数，且抛物线开口向下，则 _。23()m m3若 的图像与 轴两个交点间的距离为 4，图像经过点 ，则此二次函数的解析2yxbc 2,3式为_。4把抛物线 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，就得21()到抛物线_。5已知二次函数 的图像如右图，则下列 6 个代数式：2yaxbc， 中，其值为正的式子的个数为_个。,abc6如下图，函数 的图像（实线部分）大致形状是 （ ）17如下图，已知函数 和 ，那么它们的图像可以是（ ）yaxb2(0)yxbca8已知：二次函数 2(1)(53)5ymxxm（1） 为何值时，此
11、抛物线必与 轴相交于两个不同的点；（2） 为何值时，这两个交点再原点的左右两边；（3） 为何值时，此抛物线的对称轴是 轴；y（4） 为何值时，这个二次函数有最大值 .41OyxxyBxyCxyDxyAxAOyDOyxCOyxBOyx- 6 -9已知：二次函数 的图像与 轴有两个交点 A、B，顶点为 C，若ABC 的面积为224yxmx，求 的值。42m10已知抛物线 经过点 A ，对称轴方程是 ，顶点为 B，直线2(0)yaxbc1,03x经过 A、B 两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为 2，求一次函数 和二次函数ykxm ykxm的解析式。2abc11抛物线 的图像如图所示：2(0)yax
12、bc（1）判断 的符号；,4（2）当 时，求 满足的关系。OAB,12如图，顶点坐标为 的抛物线交 轴于点 A1,9x、B 两点，交 轴于点 ，过 A、B、C 三点2,0y的 交 轴于另一点 D，交抛物线于另一点 P，过O原点 O 且垂直于 AD 的直线交 AD 于点 H，交 BC 于点G。（1）求抛物线的解析式和点 G 的坐标；（2）设直线 交抛物线于点 E，交直线 OG 于xm点 F，是否存在实数 m，使 G、P、E、F 为一个平行四边形的四个顶点？如果存在，求出 m 的所有值；如果不存在，请说明理由。BACOyx-2 1 4.54 xyA BCDHPOG- 7 -参考答案1 ， ， ， ， ，小， ， ，325(,)4834x1,02和 ， 02， 34x25834x当 ，当 ；或 x2 ；m3 或 ；23yx265y4 ；21()5有 2 个 0,abc6C7C8 （1） ；（2） ；（3） ；（4）m152m3552m9 或10当 时， ， ；当 时， ，4 4yx10yx -4yx20yx11 （1） ；（2）,acacb12 （1） ，G28,（2）当 时，直线 EF 与 PG 重合，不能m当 时，可以。3或
