第一部分练习与思考题

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1、 1 2 第一部分 练习与思考题第 1 章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源数学模型第 6 页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有 名商人带 名随从过河，船每n次能渡 人过河，试讨论商人们能安全过河时， 与 应满足什k nk么关系。 （商人们安全过河问题见姜启源数学模型第 7 页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有 3 对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情

2、况下与其他的男子在一起。问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为 5.5%，问如果要求到 2010 年本利积累为 100000 元，那么在 1990 年应在银行存入多少元？而到2000 年的本利积累为多少元？1.6 某城市的 Logistic 模型为 ，261052NdtN如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990 年人口总数为 8000000 人，试求该市在未来的人口总数。当 时发生什么情况。t1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻 的人口为 ，最t)(tx大允许人口为 ， 到 时间内人口数量与 成正mxttm比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型

3、的结果进行比较。1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？ 3 4 第 2 章 初等模型2.1 学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B宿舍，432 人住在 C 宿舍。学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍

4、的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1 节中的 Q 值方法.（3）dHondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数 ,21n相除，其商数如下表：L,1 2 3 4 5 ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4将所得商数从大到小取前 10 个(10 为席位数),在数字下标以横线，表中 A，B，C 行有横线的数分别为 2，3，5，这就是 3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从 10 人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额.将 3 种方法两

5、次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏 50 克装的每支 1.50 元,120 克装的每支 3.00 元,二者单位的重量的价格比是 1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品的价格 C 与商品重量 W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量 W成正比，有的与表面积成正比，还有与 W 无关的因素。(2)给出单位重量价格 C 与 W 的关系。画出它的简图，说明 W 越大 C 越小，但是随着 W 的增加 C 减小的程度变小。解释实际意

6、义是什么。2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了 8 条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。2.4 用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。2.5 雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。2.6 生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面

7、散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物 体重（ ） 心率（次/分）g田鼠家鼠兔小狗25 670200 4202000 2055000 120身长(cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量(cm) 765 482 1162 737 482 1389 652 454胸围(cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 5 6 2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。2.8

8、速度为 的风吹在迎风面积 为的风车上，空气密度是vs。用量纲分析方法确定风车获得的功率 与 ， ， 的关Pvs系。2.9 雨速的速度 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩g力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度 的表达式。v2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻 冲击波达到的半径 与释放能量 ，大tre气密度 ，大气压强 有关（设 时 ） 。用量纲分析方p0t法证明， ， 是未定函数。326512etr2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。

9、记水的流速 ，密度 ，比热 ，粘性系数 ，热传导vc系数 ，人体尺寸 。证明人体与水的热交换系数 与上述各物kdh理量的关系可表为 ， 是未定函数， 定kkh,义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为 时的热Co1量交换。2.12 在小说格里佛游记中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量 1728 倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的 12 倍.他的体格是小人的 倍.所以17283他需要的食物是一个小人的食量的 1728 倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么? 2.13 战后 Olympic 运动会女子铅球记录如下:你是否可以从这些数据中预测 2000 年的

10、奥运会女子铅球的最佳成绩.大狗羊人马30000 8550000 7070000 72450000 38组别最大体重 抓举 挺举 总成绩（ ） （ ） （ ） （ ）kgkgkg1234567891054 132.5 155 287.559 137.5 170 307.564 147.5 187.5 33570 162.5 195 357.576 167.5 200 367.583 180 212.5 392.591 187.5 213 402.599 185 235 420108 195 235 430108 197.5 260 457.5年份 1948 1952 1956 1960 1964

11、 1968 1972 1976 1980 1984距离(米) 13.75 15.28 16.59 17.32 18.14 19.61 21.03 21.16 22.41 23.57 7 8 第 3 章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， 在每个生产周期 内，开始的krkT一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间()0(0Tt)只销售不生产，画出贮存量 的

12、图形。设每次生tT0 )(tq产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小1c2c为目标确定最优生产周期。讨论 和 的情况。rk3.3 在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，b重新求解模型。3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 （颈部以下） ，宽m5.1a，厚 ，设跑步距离 ，跑步最大m5.0b2.0c0d速度 ，雨速 ，降雨量 ，记跑s/vs/4uh/c2w步速度为 。按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图 1，建立总淋雨量与速度 及参数 ，va， ， ， ， ， 之间的关系，问速度 多大，总淋雨量bcduwv最少。计算 ， 时的总淋雨量。o0o3（3）雨从背后吹来，雨