《上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学（文理）参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学（文理）参考答案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海市普陀区 2008 学年度第二学期高三年级质量调研数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 2009.04一、填空题（每题 5 分，理科总分 55 分、文科总分 60 分）：1. ； 2. 理：2；文： ； 3. 理：1.885；文：2；,12,4. 理： ；文：1.885； 5. 理： ；文：4； 6. 理： ；文：1,30,1x351；2,7. 理： ；文： ； 8. 理： ；文：6； 9. 理： ；文： ；31,0,x1256p1210. 理：1； 文： ； 11. 理： ；文： ； 12. 文： ；128,756p8,7二、选择题（每题 4 分，总分 16 分）： 题号 理 12；文
2、13 理 13；文 14 理：14；文：15 理 15；文： 16答案 A C B C三、解答题： 16.（理，满分 12 分）解：因为抛物线的焦点 的坐标为 ，设 、 ，F(1,0)1,Axy2,y由条件，则直线 的方程为 ，l2xy代入抛物线方程 ，可得 ，则 .24y2440y124y于是， .2112136yOABx 2481217.（文，满分 12 分）解：因为 ，所以由条件可得 ， .0ab12nna*N即数列 是公比 的等比数列.n12q46又 ，312aq所以， .12lim3nS 812（理）17.（文）18. （满分 14 分）解：因为 12cos1sinzxx225所以，
3、 sinco1xsin14x2sin4x即 或 ，324k2xkZ或 ，x又由 ，即,当 时， 或 ；当 时， 或 .0kx21kx32所以，集合 .3,P 37111418.(理，满分 15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分）解：（1）当 时，5n5 250155CC24350 155552C419故 ， ，所以 .52a5b570ab（2）证：由数学归纳法（i）当 时，易知 ，为奇数；1n1（ii）假设当 时， ，其中 为奇数；k2kkabk则当 时，12112kkk 368 22kkaba所以 ，又 、 ，所以 是偶数，1k Z2ka而由归纳假设知 是奇数，故 也是奇数.k
4、1k综上（i） 、 （ii）可知， 的值一定是奇数.nb证法二：因为 20112 2nnCC当 为奇数时，n2411nnn 则当 时， 是奇数；当 时，1b3因为其中 中必能被 2 整除，所以为偶数，24112nnnnCC于是， 必为奇数；0 n当 为偶数时，24nnnnb其中 均能被 2 整除，于是 必为奇数.24CC nb综上可知， 各项均为奇数.n10141510141519. （文，满分 14 分）解：如图，设 中点为 ，联结 、 .BDAO由题意， , ,所以 为等边三角形，2OC60BBC故 ，且 .3又 ，1ABCS所以 .26D而圆锥体的底面圆面积为 ,24SOC所以圆锥体体积
5、 .133ABV 381014（理）19. （文）20. （满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）解：（1）由题意，当 和 之间的距离为 1 米时， 应位于 上方，MNMNDC且此时 中 边上的高为 0.5 米. E2AO CB第 19 题图D又因为 米，可得 米.12EMNDC3MN所以， 平方米，34EMNShA即三角通风窗 的通风面积为 平方米.（2）1 如图（1）所示，当 在矩形区域滑动，即 时， N10,2x的面积 ；EMN1()|2SfxM2 如图（2）所示，当 在半圆形区域滑动，即 时， N13,2x，故可得 的面积21|()NxE()
6、|SfMN211()()2x；2x综合可得： 211,0,2() 3(),.xxSf（3）1 当 在矩形区域滑动时， 在区间 上单调递减，MN()fx10,2则有 ；1()02fx2 当 在半圆形区域滑动时，4691012A BCDEmMN图 （ 2）A BCDEmM N图 （ 1），2222211()()11()()()()2 xxfxxx等号成立 ， .223,3(),2因而当 （米）时，每个三角通风窗 得到最大通风面积，最大1()xEMN面积为 （平方米）.ma2S 151621（文，满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分）解：（1）设右焦点坐标
7、为 （ ）.(,0)Fc因为双曲线 C 为等轴双曲线，所以其渐近线必为 ，yx由对称性可知，右焦点 到两条渐近线距离相等，且 .4POF于是可知， 为等腰直角三角形，则由 ，OPF 22c又由等轴双曲线中， .2ca2即，等轴双曲线 的方程为 .Cxy（2）设 、 为双曲线 直线 的两个交点.1,Axy2,BCl因为 ，直线 的方向向量为 ，直线 的方程为(0)Fl1,2d.()12yx代入双曲线 的方程 ，可得 ，C2222431680xx于是有 126,3.x而 1212124OAByxx .05863（3）假设存在定点 ，使 为常数，其中 ， 为直,0PmMPN),(1yx),(2yxN
8、线 与双曲线 的两个交点的坐标.lC当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为lxl)2(ky357911代入 ，可得 .2xy0)24()1(22 kxk由题意可知， ，则有 ， 1211242kx于是， 12PMNxmkx 22124)()( mkk )21()(412)(24222kmk 要使 是与 无关的常数，当且仅当 ，此时 . PMN 1PMN当直线 与 轴垂直时，可得点 , ，lx)2(M)(若 ， 亦为常数.1m1综上可知，在 轴上存在定点 ，使 为常数.x(,0)P1PN 1316171820（理，满分 22 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 12
9、分）解：（1）解法一：由题意，四边形 是直角梯形，且 ，ABCDADBC则 与 所成的角即为 . PCADP因为 ，又 平面 ，B所以 平面 ，则有 .90因为 ， ,232BC所以 ，则 ，tanPBC3P即异面直线 与 所成角的大小为 .AD解法二：如图，以 为原点，直线 为 轴、直线 为 轴、直线 为 轴，xADyAPz建立空间直角坐标系.于是有 、 ，则有 ，又0,2P,20C2,PC0,1则异面直线 与 所成角 满足 ,AD1cos4A所以，异面直线 与 所成角的大小为 .P3（2）解法一：由条件，过 作 ，垂足为 ，联结 . QFBFP于是有 ，故 与 所成角即为 . /ADFAD
10、60Q在平面 中，以 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立平面直角坐BCxADy标系. 设动点 ，(,)Qxy则有 224PFAx又 平面 ，所以 .BFP所以，2tan603xQy，即 .2243x24所以，可判定曲线 是双曲线.E（2）解法二：如图，以 为原点，直线 为 轴、直线 为 轴、直线 为 轴，ABxADyAPz建立空间直角坐标系.设点 ，点 、点 、点 ，(,0)Qxy(,2)P(0,1)(0,)24246810PACD QByxz则 ， ，(,2)PQxy(0,1)AD由 ，cos3，214yxy化简整理得到 ，则曲线 是平面 内的双曲线.3EABCD（3）解：在如图所示的
11、 的坐标系中，因为 、 、 , 设xOy0,12,20B.则有 ，故 的方程为 ，1,Gxy2,1DCxy代入双曲线 E： 的方程可得， ，34x22238(1)45160yy其中 .125y因为直线 与双曲线 交于点 ，故 . 进而可得 ，即 .DCC165y125x2,5G故双曲线 E 在直角梯形 内部（包括边界）的区域满足 ，ABD,. 又设 为双曲线段 上的动点， .6,25y,QxyCG2,5x所以，224833B24103x因为 ，所以当 时， ；2,532xmin30BQ当 时， .xmax415BQ而要使圆 B 与 、 都有交点，则 .AC2B故满足题意的圆的半径的取值范围是
12、.30,【说明】681012161. 若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得 6 分.2. 若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分 6 分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得 6 分. 问题一：求四面体 体积的取值范围.PBMN因为 ，所以 体积为 . 故问题可以转化AD13PBMNBMNVAS为研究 的面积. B又因为 为直角，所以 必为等腰直角三角形.由前述，设 ，则 ，30,2Qrr故其面积为 ，所以 .21BMNS 5,23BMNS于是， .104,39PBBBVAA（当 点运动到与点 重合时，体积取得最大
13、值；当 点运动到横坐标 时，QCQ32x即 长度最小时，体积取得最小值）B 问题二：求侧棱 与底面 所成角大小的取值范围.PMBN解：因为 ，所以 即为侧棱 与底面 所成角.AAPMBN而 ，2tanr30,2由于 在区间 内递增，2r30,所以 ，即 .tan1.95,24PMAarctn1.95,arct241PMA 问题三：求侧棱 与底面 所成角大小的取值范围.NB解：因为 ，所以 即为侧棱 与底面 所成角.NB因为 ，所以 ，2,r28r故 ， .2tanPANr30,由于 在区间 内递减，28r30,1822182218所以 ，即 .3tan,0.594PNA,arctn05946PNA 问题四：求侧面 和底面 所成的二面角 大小的取值范围.MBMNB解：以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间xDyAPz直角坐标系，则有 ， ， ， 0,2,0r2,0r设平面 的法向量为 .PN0,nyz由 ， ，可得平面 的一个法向量坐标为 .nMPMN1,2rn可知，向量 是平面 的一个法向量，于是向量 和 的夹角 的0,2PABPA大小即为二面角 平面角的大小.而 ，22cos()824rr经分析可得
