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1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目 三个三次幂等矩阵线性的秩的不变性的一些研究学 生 姓 名 学 号 专 业 信息与计算科学 班 级 计算 062 指导教师 二 0 一 0 年五月一日目 录1 引言 .（2）2 引理 .（5）3 主要结果及证明 .（6）结束语 . （19）致谢 .（20）参考文献 .（20）林丽美 三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究1三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究林丽美( 莆田学院数学系 指导教师: 杨忠鹏 )摘要：由于可逆是秩的一种特殊情况，所以，本文将考虑更一般的情况，即从秩的方面来考虑三个非零三次幂等矩阵的线性组合 。2008 年，黄毅青教授
2、举出了一些反例，说明了当矩阵 的123cTc ,PQ幂等次数 时， 的可逆性与系数 的选择无关且 的秩与系数3kaPbQ(,)abaPb的选择无关的这两个性质都没有了。对于黄毅青教授指出的这个问题，在我十分清醒的分析了那(,)ab些例子之后，总结出了两点：其一、随着幂等次数 的增大，系数所满足的条件应当做适当的改变。其二、k结论不成立是在矩阵 不可交换的前提下提出的。之后阅读了大量的相关文献发现矩阵可交换的这个前,P提对于幂等次数 的矩阵的线性组合的一系列问题的研究都是必要的，所以，本文中所探讨的三个(3)k三次幂等矩阵是两两可交换的这个前提是有一定依据的。在这些基础上本文探讨了三个两两可交换
3、的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件。由于三个三次幂等矩阵是两两可交换的，所以三个三次幂等矩阵可同时对角化，且对角元素为其特征值。又因为三次幂等矩阵的特征值为 0 或 1 或-1，所以由三个三次幂等矩阵的第 个特征值构成的三维数组 总共有 种情况，构成i 123,iiiiTT327一个集合 。本文的证明就是将这 27 种情况进行分类，然后对于每一类都进行证明，证明的主要思路是或123()()()0iiicTcTAA123()()()0iiicc。每个定理都给出了三个iiiiiiTT两两可交换的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件，显然充分条件远远不止这些，还可以进行更
4、深层次的探讨。关键词：三次幂等矩阵 线性组合 秩等式 系数选择 Abstract: Since invertibility is a special case of rank,so this paper will consider the more general situation. In 2008, professor NGAI-CHING WONG cited some counter-examples, shows that the nature of the invertibility ofnot relates with the choice of coefficients and
5、 the rank of not relates with the aPbQ(,)abaPbQchoice of coefficients lost, if matrices is -potents idempotent. For professor NGAI-(,)abPQ3k林丽美 三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究2CHING WONG pointed out this problem, after I am very clear in the analysis of those examples, summarized two points: First, with the
6、 increase of idempotent number , the conditions of the coefficients satisfied should be kappropriate changed. Second, not set up can be proposed under the premise of matrices are noncommutative. ,PQWe can found that the premise which matrices are commutative is necessary to the research of a series
7、of questions of the linear combination of matrices with idempotent number after reading a great deal of relevant (3)kreferences, therefore, the premise which three tripotent matrices are commutative pairwise is a certain reason. Based on these the paper discussed the sufficient conditions with the i
8、nvariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices , that is, ,A123123rcTcrTcwhich and are non-zero complex numbers. Because three tripotent matrices is commute ,12,3icA,3iby two, therefore three tripotent matrices could simultaneous diagonalization and diagonal element
9、s of its eigenvalues. Let be the eigenvalues of , then is diagonalizable and ，12(),()n A()1,0iA, so by the No. eigenvalue of three tripotent matrices constituted three-dimensional array i ihas scenarios in total and then 27 scenarios constituted a set . 123,iiiiTT327 The 27 kinds of situations can b
10、e classified with the proof of this paper, and then each class to prove it holds. It is that or 123()()()0iiiccAA123()()()0iiicTcT. Each Theorem is given iiiTTiiisufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices, clearly sufficient condi
11、tion is far more than these, these can be deeper study too.Key words: Tripotent matrix Rank of matrices Linear combination Choice of coefficient 1、引言设 为复数域上 的 阶矩阵集合. ,为矩阵 的秩。当 时，称nCn()rAnC3AnC为三幂等矩阵。A对非零 ，总记 ， 且,abuvwC(,):0ab2(,):0ab。2:0统计学中很多方法都涉及到投影阵（幂等阵）林丽美 三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究3或投影算子（幂等算子） ，而斜
12、投影算子则是回归模型的变量估计中一个特别有用的工具。例如：、二次型 服从 分布 , (1)xA22A（1.1）其中 且 ， 是一个服从多元正态分布 的 维随机变量，其中 是单位阵 nRx(0,)nNII(见3, 定理 5.1.1和4，引理 9.1.2)。、 是两个相互独立并且服从 分布的随机变量的差 ， 2)xB 23B（1.2）其中 且 ， 是一个服从多元正态分布 的 维随机变量，其中 是单位阵(见nRx(0,)nNII5的定理 1)。 更多的相关应用见文3-5和文 6-7。因此，近几年来，幂等矩阵、幂等算子以及三次幂等矩阵的研究受到了国内外许多学者的关注，其中幂等矩阵、幂等算子、三次幂等矩
13、阵的线性组合问题是个热点问题，而且得到了一些研究成果。例如：、幂等性(1)2000 年， 和 得到（见8）Jerzy.KBakslryOskaMriBksalry是幂等阵时的所有情形，当 , , ， 。 12Pc21P210c2仍是幂等矩阵的某些情况甚至所有的情况已经得以研究（见3489101112），其中 是非零幂等矩阵。12,2002 年，J.K.Baksalary,O.M. Baksalary 和 G.P.H. Styan 得到（见 13）是幂等阵的所有情况，当 ， （见3 的引理 5.6.6）. 12CcAB2nAC3nBC2004 年， O.M. Baksalary 得到了（见 14
14、 ） 是幂等阵的所有情形，其中123PccP是非零的幂等阵， 是正交的，即 。 123,P23,P23302004 年，Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Baksalary 和 Halim Ozdemir 得到（见15 ）是三次幂等矩阵的充要条件，其中 。12Tc3312121,TT若是在复数域上考虑，则 Halim Ozdemir 和 Ahmet Yasar Ozban 对8中可交换的幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充要条件给出了新的证明（见16 ） ，并且给出了三个两两可交换的非零幂等矩林丽美 三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究4阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充要条件。2005 年，J. Benitez 和 N. Thome 得到（见17）了 仍然是幂等阵的充
