(10.23)建立数学模型

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1、建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 什么是数学建模及数学建模的由来 1.3 数学建模与其他数学分支的区别 1.4 数学建模的重要意义 1.5 数学建模的方法和步骤 1.8 CUMCM历年赛题的统计分析 1.9 数学建模竞赛的实践方法 1.7 数学建模教与学 1.6 数学模型的特点和分类 1.10 建模示例 玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型 地图、电路图、分子结构图 符号模型 模型 是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的 原型 的替代物 模型 集中反映了 原型 中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型

2、 我们常见的模型 你碰到过的数学模型 “ 航行问题” 用 x 表示船速， y 表示水速，列出方程： 75050)(75030)(yxyx答：船速每小时 20千米 /小时 . 甲乙两地相距 750千米，船从甲到乙顺水航行需 30小时， 从乙到甲逆水航行需 50小时，问船的速度是多少 ? x =20 y =5 求解 航行问题 建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（ x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（ x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时 20千米 /小时）。

3、1.2 什么是数学建模及数学建模的由来 对于一个 现实对象 ，为了一个 特定目的 ，根据其 内在规律 ，作出必要的 简化假设 ，运用适当的 数 学工具 ，得到的一个 数学结构 。 数学模型 1.数学建模（ Mathematical Modelling） 数学模型（ Mathematical Model ） 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学建模 具体地说，是运用数学方法去解决实际问题，即要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，而这种刻画的数学表 达式就是一个数学模型，其过程就是数学建模。 2. 由来 七十年代末八十年代初，英国剑桥大学专门 为研究生开设数学建模课程，

4、并开展牛 津大学与 工业界的合作活动 OSGI（ Oxford Study Group with Industry）。差不多同时，美国及欧洲其他发达国 家把数学建模 的内容引入研究生，本科生以及中学 生的教学计划中去，并于 1983年开始举办二年一次 的数学建模和应用的教学国际会议 。 数学建模竞赛 美国（ AMS）： 85年前 ，仅有一种竞赛： Putram数学竞赛 85年 ， MCM(Mathematical Competition in Modelling) 88年 ， MCM(Mathematical Contest in Modelling) 99年 ， ICM(Interdisci

5、plinary Contest in Modeling) 我国： 89年 开始组队参加美国 MCM。 92年 12所大学， 24 个队； 90.12.7-9（数学类）大学生数学建模竞赛，上海 91.6.7-9（非数学类）大学生数学建模竞赛，上海 92.4.3-6 第一届大学生数学建模竞赛，西安 92.11.27.-29 CSIAM举办， 1992年全国大学生数学建模竞赛， 74所大学， 314队 94年 由原国家教委及 CSIAM联合举办 2010年 1022所大学， 9836队 (甲组 7374队，乙组2462队 )；一等奖 261队（甲组 210队，乙组 51队 )，二等奖 1111队（甲

6、组 907队，乙组 204队 ) 四川省： 从 92年开始参加。 2010年有 47所高校， 624个队； 获全国一等奖 16项，二等奖 45项 ; 获省一等奖 64项，二等奖 73项，二等奖 84项。 曾获 5次全国组织奖。 电子科大获 2004年 ICM杰出奖（ Outstanding winners ， 5个国家的 143队中选出 4队） 1.3 数学建模与其他数学分支的区别 数学建模与其他数学分支的区别： 学着用数学和学数学 数学建模与求解数学问题 (problem solving)的区别： 求解数学问题的条件及需要解决的问题是确定的，恰到好处； 而数学建模中题目的条件及需要解 决的问

7、题都可能有许多不确定因素。 1.4 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律 将对象看作“黑箱” ,通过对测量数据的 统计分析，找出与

8、数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。 二者结合 用机理分析建立模型结构 ,用测试分析确 定模型参数 1.5 数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 的问题 模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 ,忽略次要 的因素，作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模 型 构 成 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数

9、学工具 数学建模的一般步骤 模型 求解 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 模型 分析 模型 检验 把求解和分析结果与实际现象、数 据比较，检验模型的合理性、适用性 模型应用 数学建模的一般步骤 数学建模的全过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 表述 求解 解释 验证 (归纳 ) (演绎 ) 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现实世界 数学世界 理论 实践 1.6 数

10、学模型的特点和分类 模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性 模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性 数学模型的特点 数学模型的分类 应用领域 人口、交通、经济、生态 数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性 描述、优化、预报、决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 1.7 数学建模教与学 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目 通过数学建模的学习

11、，重在培养以下能力与素质： “翻译”能力；综合应用与分析能力：理解合理的抽象，简化、灵活、创造性地使用数学 工具；想象力；理解力与洞察力（抓住问题的 重点与难点）；使用技术手段的能力；交流与 表达能力；团队合作精神；科技论文写作能力 学习方法： 循序渐进；大胆尝试，大胆实践，在建模中学习建模；不要追求所谓的数学 的“严密性”；与不同专业的专业技术人员组队合作；应具有较强的计算机能力 及其他专业知识。 数学建模竞赛的规模越来越大，水平越来越高； 竞赛的水平主要体现在赛题水平的提高； 赛题的水平主要体现： （）综合性、实用性、创新性、即时性等； （）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等； （）给

12、参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。 纵览近 12年来本科组 24个题目，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。 1.8 CUMCM历年赛题的统计分析 1. CUMCM 的历年赛题浏览： 1999年： A题 自动化车床管理 ； B题 钻井布局 2000年： A题 DNA序列分类 ； B题 钢管订购和运输 2001年： A题 血管的三维重建； B题 公交车调度 2002年： A题 车灯线光源的优化设计 ； B题 彩票中的数学 2003年： A题 SARS的传播： B题 露天矿生产的车辆安排 2004年： A题 奥运会临时超市网点设计 ： B题 电力市场的输电阻塞管理 2

13、005年 ： A题 长江水质的评价和预测 B题 DVD在线租赁 2006年： A题 出版社的资源配置 B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007年： A题 中国人口增长预测 B题 乘公交，看奥运 2008年： A题 数码相机定位 B题 高等教育学费标准探讨 2009年： A题 制动器试验台的控制方法分析 B题 眼科病床的合理安排 2010年： A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 2011年： A题 城市表层土壤重金属污染分析 B题 交巡警服务平台的设置与调度 2、从问题的实际意义分析 大体上可分为：工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等

14、五个大类。有的问题属于交叉的， 或者是边缘 的。 3、从问题的解决方法上分析 从问题的解决方法上涉及到的数学建模方法： 几何理论、初等方法、概率统计、优化方法（规划）、层次分析、插值与拟合、差 分方法、微分方程、模糊数学的概念、图与 网的概念、随机模拟、综合评价、机理分析等方法。 3、从问题的解决方法上分析 优化方法：整数规划，线性规划，非线性规划； 初等微积分方法； 解析几何方法； 微分方程方法； 插值与拟合数值方法； 综合评价方法； 概率统计方法； 机理分析方法和随机模拟都多次用到 ; 大部分题目都可以用两种以上的方法来解决。 4、从问题的题型上分析 （ 1）“即时性”较强的问题 （ 2）理论性较强的问题 （ 3）实用性较强的问题 （ 4）算法要求较强的问题 （ 5）数据量较大的问题 5、近几年题目的特点 (1)综合性 ：一题多解，方法融合，结果多样， 学科 交叉。 (2)开放性 ：题意的开放性，思路的开放性，方法的 开放性，结果的开放性。 (3)实用性 ：问题和数据来自于