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1、- 1 -2014高考数学模块跟踪训练简单几何体一、选择题(8540 分)1(2009河北唐山一模)球的一个截面是半径为 3的圆，球心到这个截面的距离是 4，则该球的表面积是 ()A100 B50 C. D. 5003 1003答案：A解析：由已知得球的半径为 5，所以 S4 R 2100 ，故选 A.2(2009黄冈一模)过半径为 2的球 O表面上一点 A作球 O的截面，若 OA与该截面所成的角是 60，则该截面的面积是 ()A B2 C3 D2 3答案：A解析：如图，截面圆的半径 r1， S 截面 r 2 ，故选 A.3(2009吉林长春一模)已知各顶点都在同一个球面上的正四锥棱高为 3，
2、体积为 6，则这个球的表面积是 ()A16 B17 C21 D25 答案：A解析：如图，设底面正方形的边长为 a，球半径为 x，则 V a236 a ，在13 6OCO中，(3 x)2( )2 x2x2.3所以 S 球 4 R 24 x 216 ，故选 A.4正方体的内切球与外接球的半径之比为 ()A. 、：2 B. ：2 C. ：3 D. ：32 3 3 6答案：C解析：设内切球和外接球的半径分别为 r和 R；正方体的棱长为 a，则r ， R a， r R 3. 故选 C.a2 32 35设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 35东经 110，乙地位于南纬 85东经 110，则甲、乙两地的球面
3、距离为()A. R B. R C. R D. R23 6 56 3答案：A解析：如图易得甲、乙两地所对的球心角为 ，故球面距离为 R.23 236(2009南昌市三年级调研试卷)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相- 2 -切，已知这个球的体积为 36 ，那么这个正三棱柱的体积是()A27 B36 C54 D162 3 3 3 3答案：D解析：设正三棱柱的底面边长是 a，依题意得球的半径 R3，正三棱柱的高等于该球的直径，即等于 6，且有 tan30 ，则 a6 ，因此该正三棱柱的体积等于 (6 )3a2 6a 3 34 326162 ，选 D.37四面体 ABCD的外接球球心在 CD
4、上，且 CD2， AB ，在外接球面上 A， B两点间3的球面距离是 ()A. B. C. D.6 3 23 56答案：C解析：如图：球心 O为 CD中点， CD2 R1.在 OAB中， OA OB R1，又 AB ，3 AOB ， A、 B两点间的球面距离为 R ，故选 C.23 23 238如图所示，在正三棱锥 SABC中， M、 N分别是 SC、 BC的中点，且 MN AM，若侧棱SA2 ，则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是 ()3A12 B32 C36 D48 答案：C解析： MN AM， BS AM，又由题意可得 SB AC， SB平面 SAC， SA、 SB、 SC两两垂直将
5、SABC补成正方体，则 SABC的外接球与正方体的外接球相同，球的直径等于正方体的对角线长2 R 2 ， R3， S4 R 24 936 .故选 C.3 3规律总结：有关立体几何问题的处理，通常结合已知条件，将相关的几何体转化到一个特殊的几何图形(或适当地构造相关的几何图形)中，通常转化到长方体或正方体中，从而将问题解决二、填空题(4520 分)9湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 12 cm，深2cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm 2.答案：10400 解析：由题意：设球半径为 R.则 R2( R2) 26 2R10，球表面积 S4 R 2400 .
6、10已知 A、 B、 C三点在球心为 O，半径为 3的球面上，且几何体 O ABC为正四面体，那么 A， B两点的球面距离为_；点 O到平面 ABC的距离为_答案： 6解析： AOB60，那么 A， B两点的球面距离为 ；三角形 ABC的外接圆的半径为R,2R 2 ， R ，则点 O到平面 ABC的距离为 ，故填 ； .3sin60 3 3 32 R2 6 611(2009全国，15)已知 OA为球 O的半径，过 OA的中点 M且垂直于 OA的平面截- 3 -球面得到圆 M.若圆 M的面积为 3 ，则球 O的表面积等于_答案：16 解析：由题意得圆 M的半径 r ，又球心到圆 M的距离为 ，由
7、勾股定理得 R2 r2( )3R2 R22， R2，则球的表面积为 4 2216 ，故填 16 .12(2009全国，15)设 OA是球 O的半径， M是 OA的中点，过 M且与 OA成 45角的平面截球 O的表面得到圆 C.若圆 C的面积等于 ，则球 O的表面积等于_74答案：8 解析：设圆 C的半径为 r，有 r 2 .得 r2 .又设球的半径为 R，如图所示，有74 74|OB| R，| OC| R，| CB| r.在 Rt OCB中，有 |OB|2| OC|2| CB|2，即R2 22 24R2 R2 r2 R2 ，18 78 74 R22， S 球 4 R 28 .三、解答题(410
8、40 分)13把地球当作半径为 R的球，地球上 A、 B两地都在北纬 45， A、 B两点的球面距离是 R， A点在东经 20，求 B点的位置3解析：如图，求 B点的位置即求 B点的经度，设 B点在东经 ， A、 B两点的球面距离是 R.3 AOB ，因此三角形 AOB是等边三角形， AB R，3又 AO1B 20(经度差)问题转化为在 AO1B中借助 AO1 BO1 AOcos45 R，22求出 AO1B90，则 110，同理： B点也可在西经 70，即 B点在北纬 45东经 110或西经 70.14在球心同侧有相距 9cm的两个平行截面，它们的面积分别为 49 cm2和 400 cm2，求
9、球的表面积和体积解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为 AO1、 BO2，则 AO1 BO2.若 O1、 O2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知 OO1 AO1， OO2 BO2，设球半径为 R， O 2B249 ， O2B7cm，同理 O1A20cm.设 OO1 xcm，则 OO2( x9)cm.在 Rt OO1A中， R2 x220 2，在 Rt OO2B中， R2( x9) 27 2， x220 27 2( x9) 2，解得 x15cm. R25cm， S 球 2500 cm2，V 球 R 3 cm3.43 62500315设 A、 B、 C是半径为 1的球面上
10、的三点， B、 C两点间的球面距离为 ，点 A与3- 4 -B、 C两点间的球面距离均为 ， O为球心，求：2(1) AOB、 BOC的大小；(2)球心 O到截面 ABC的距离解析：(1)如图，因为球 O的半径为 1， B、 C两点间的球面距离为 ，点 A与 B、 C两点3间的球面距离均为 ，所以 BOC ， AOB AOC ，2 3 2(2)因为 BC1， AC AB ，所以由余弦定理得 cos BAC ，sin BAC ，设截234 74面圆的圆心为 O1，连结 AO1，则截面圆的半径 r AO1，由正弦定理得 r ，所以 OO1 .BC2sin BAC 277 OA2 r2 21716如图四棱锥 A BCDE中， AD底面 BCDE， AC BC， AE BE.(1)求证： A、 B、 C、 D、 E五点共球；(2)若 CBE90， CE ， AD1，求 B、 D两点的球面距离3解析：(1)证明：取 AB的中点 P，连结 PE， PC， PD，由题设条件知 AEB、 ADB、 ABC都是直角三角形故 PE PD PC AB PA PB.12所以 A、 B、 C、 D、 E五点在同一球面上(2)解：由题意知四边形 BCDE为矩形，所以 BD CE ，3在 Rt ADB中， AB2， AD1， DPB120， D、 B的球面距离为 .23
