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1、- 1 -2014高考数学模块跟踪训练：数列 2一、选择题(8540 分)1 an为等差数列，且 a72 a41， a30，则公差 d ()A2B C. D212 12答案：B解析：由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4 a5 a3，2 d a7 a51，即 d.故选 B.122在等差数列 an中， a39， a93，则 a12 ()A0 B3 C6 D3答案：A解析： a12 a3(123) d a39 990.a9 a39 33在等差数列 an中，设 Sn为其前 n项和，已知 ，则 等于a2a3 13 S4S5()A. B. C. D.815 40121 1625 57答案：A解析：由题
2、意可得： .S4S54(a1 a4)25(a1 a5)2 2(a2 a3)5a3 8154设 an是公差为2 的等差数列，如果 a1 a4 a750，则 a6 a9 a12()A40 B30 C20 D10答案：C解析：因为 a1 a4 a750，所以 3a450， a4 .又因为公差为2，所以503a9 a45(2) ，则 a6 a9 a123 a920.2035数列 an中， a32， a71，且数列 是等差数列，则 a11等于 ()1an 1A B. C. D525 12 23答案：B解析：解法一：设等差数列 的公差为 d，1an 1则： 4 d，将 a32， a71 代入解得 d .1
3、a7 1 1a3 1 124 4 d1a11 1 1a7 1 16 1a11 1 16 12 23 a11 .故选 B.12- 2 -解法二： 是等差数列1an 1 ， ， 也是等差数列1a3 1 1a7 1 1a11 1 1a3 1 1a11 1 2a7 1将 a32， a71 代入解得 a11 ，故选 B.126已知等差数列 an的前 n项和为 Sn， a1 a5 S5，且 a920，则 S1112()A260 B220 C130 D110答案：D解析： S5 5，又a1 a52 S5 a1 a5， a1 a50， a30， S11 11 11 1111012 a1 a112 a3 a92
4、 0 202，故选 D.7各项均不为零的等差数列 an中，若 a an1 an1 0( nN *， n2)，则 S2009等于2n()A0 B2 C2009 D4018答案：D解析：各项均不为零的等差数列 an，由于 a an1 an1 0( nN *， n2)，则2na 2 an0， an2， S20094018，故选 D.2n8(原创题)等差数列 an中， Sn是其前 n项和， a12010， 2，则S20072007 S20052005S2010的值为 ()A2009 B2009 C2010 D2010答案：D解析：等差数列 an中， Sn是其前 n项和，则数列 也为等差数列，又 a12
5、010，Snn 2，则 是以 2010为首项，1 为公差的等差数列，则S20072007 S20052005 Snn2010(20101)(1)1， S2010的值为 2010，故选 D.S20102010二、填空题(4520 分)9设等差数列 an的前 n项和为 Sn.若 S972，则 a2 a4 a9_.答案：24解析：由等差数列的性质得 S99 a572， a58，则 a2 a4 a9 a1 a5 a93 a524，故填 24.10在等差数列 an中， a37， a5 a26，则 a6_.答案：13解析： an是等差数列，设公差为 d，3 d a5 a26.则 a6 a33 d7613.
6、11(2009陕西，13)设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a6 S312，则 an的通项an_.答案：2 n解析：由已知Error!Error!故 an2 n，故填 2n.12若 an是等差数列，首项 a10， a2003 a20040， a2003a20040，则使前 n项和- 3 -Sn0 成立的最大自然数 n是_答案：4006解析：解法一： S40064006(a1 a4006)2 0，4006(a2003 a2004)2 a20030， a20040， S4007 (a1 a4007) 2a20040，40072 400724006 为 Sn0 的最大自然数解法二： a10，
7、 a2003 a20040 且 a2003a20040， a20030 且 a20040， S2003为 Sn中的最大值， Sn是关于 n的二次函数，2003 到对称轴的距离比 2004到对称轴的距离小， 在对称轴右侧，据二次函数图象的对称性；4006 在图象中右侧零点 B的左侧，400724007,4008都在其右侧 Sn0 中最大的自然数是 4006.三、解答题(41040 分)13已知 an是一个等差数列，且 a21， a55.(1)求 an的通项 an；(2)求 an前 n项和 Sn的最大值命题意图：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前 n项和公式，以及二次函数最值的求法解析：(1
8、)设 an的公差为 d，由已知条件， Error!，解出 a13， d2，所以 an a1( n1) d2 n5.(2)Sn na1 d n24 n4( n2) 2.n(n 1)2所以当 n2 时， Sn最大值为 4.14在等差数列 an中， Sn为 an的前 n项和， q， pN *，且 p q.(1)若 ap q， aq p，求证： ap q0；(2)若 Sp Sq，求证： Sp q0；(3)若 Sp q， Sq p，求证： Sp q( p q)证明：(1)由于 an是关于 n的一次函数，因此点( p， ap)，( q， aq)，( p q， ap q)共线， ， ，ap q aqp q
9、q aq apq p ap q pp p qq p ap q0.(2)由于 Sn是关于 n的二次函数，可设为 f(n) an2 bn(a0)又 Sp Sq f(p) f(q)，因此它的对称轴为 n ， f(p q) f(0)0.p q2(3)由(2)可知 是关于 n的一次函数，因此点( p， )，( q， )，( p q， )在同Snn Spp Sqq Sp qp q一直线上， ， Sp q( p q)Sqq Sppq pSp qp q Spp(p q) p- 4 -15(高考改编题)设 Sn是等差数列 an前 n项的和已知 S3与 S4的等比中项为 S5，13 14 15S3与 S4的等差中
10、项为 1，求等差数列 an的通项 an.13 14分析：运用等差数列前 n项和公式、通项公式，求首项 a1和公差 d.解析：解法一：设等差数列 an的首项 a1 a，公差为 d，则通项公式为：an a( n1) d，前 n项和为 Sn na .n(n 1)d2依题意有Error!由此可得Error!整理得Error!解得Error!或Error! an1 或 an4 (n1) n.125 325 125经验证，知 an1 时， S55； an n时， S54 均适合题意，故所求等差数列的325 125通项为 an1，或 an n.325 125解法二：因 Sn是等差数列的前 n项和，故可设 S
11、n an2 bn(a0)，依题意得Error!解得Error!或Error!则 Sn n，或 Sn n2 n.65 265在等差数列中， an Sn Sn1 ， an1 或 an n.325 125解法三：因 Sn是等差数列的前 n项和，易知数列 为等差数列，依题意得SnnError!解得Error!或Error!由此得 a4 S4 S31， a5 S5 S41 或 a4 ， a5 ，165 285数列 an的公差 d0 或 .125则 an a4( n4)01，或 an a4( n4) n.(125) 325 125解法四：由题意 S32 a2， S42( a2 a3)，S55 a3代入Er
12、ror!整理得Error!解之，得Error!或Error! an1 或 an n.325 12516(2009湖南十二校第一次联考)已知二次函数 y f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f( x)6 x2，数列 an的前 n项和为 Sn，点列( n， Sn)(nN *)均在函数 y f(x)的图象上(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ， Tn是数列 bn的前 n项和，求使得 Tn 对所有 nN *都成立的最小3anan 1 m20正整数 m.解析：(1)设这个二次函数 f(x) ax2 bx(a0)，则 f( x)2 ax b，由于 f( x)- 5 -6 x2，得a3， b2
13、，所以 f(x)3 x22 x.又因为点( n， Sn)(nN *)均在函数 y f(x)的图象上，所以 Sn3 n22 n.当 n1 时， a1 S11，当 n2 时， an Sn Sn1 (3 n22 n)3( n1) 22( n1)6 n5，又 n1 时也符合故 an的通项公式为 an6 n5.(2)由(1)得 bn 3anan 1 3(6n 5)6(n 1) 5 ( )，12 16n 5 16n 1故 Tn (1 )( )( ) (1 )，12 17 17 113 16n 5 16n 1 12 16n 1因此，使 (1 ) (nN *)成立的 m，必须且仅需满足 ，即 m10，12 16n 1 m20 12 m20所以满足要求的最小正整数 m为 10.
