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1、- 1 -2014高考数学模块跟踪训练:数列 2一、选择题(8540 分)1 an为等差数列,且 a72 a41, a30,则公差 d ()A2B C. D212 12答案:B解析:由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4 a5 a3,2 d a7 a51,即 d.故选 B.122在等差数列 an中, a39, a93,则 a12 ()A0 B3 C6 D3答案:A解析: a12 a3(123) d a39 990.a9 a39 33在等差数列 an中,设 Sn为其前 n项和,已知 ,则 等于a2a3 13 S4S5()A. B. C. D.815 40121 1625 57答案:A解析:由题
2、意可得: .S4S54(a1 a4)25(a1 a5)2 2(a2 a3)5a3 8154设 an是公差为2 的等差数列,如果 a1 a4 a750,则 a6 a9 a12()A40 B30 C20 D10答案:C解析:因为 a1 a4 a750,所以 3a450, a4 .又因为公差为2,所以503a9 a45(2) ,则 a6 a9 a123 a920.2035数列 an中, a32, a71,且数列 是等差数列,则 a11等于 ()1an 1A B. C. D525 12 23答案:B解析:解法一:设等差数列 的公差为 d,1an 1则: 4 d,将 a32, a71 代入解得 d .1
3、a7 1 1a3 1 124 4 d1a11 1 1a7 1 16 1a11 1 16 12 23 a11 .故选 B.12- 2 -解法二: 是等差数列1an 1 , , 也是等差数列1a3 1 1a7 1 1a11 1 1a3 1 1a11 1 2a7 1将 a32, a71 代入解得 a11 ,故选 B.126已知等差数列 an的前 n项和为 Sn, a1 a5 S5,且 a920,则 S1112()A260 B220 C130 D110答案:D解析: S5 5,又a1 a52 S5 a1 a5, a1 a50, a30, S11 11 11 1111012 a1 a112 a3 a92
4、 0 202,故选 D.7各项均不为零的等差数列 an中,若 a an1 an1 0( nN *, n2),则 S2009等于2n()A0 B2 C2009 D4018答案:D解析:各项均不为零的等差数列 an,由于 a an1 an1 0( nN *, n2),则2na 2 an0, an2, S20094018,故选 D.2n8(原创题)等差数列 an中, Sn是其前 n项和, a12010, 2,则S20072007 S20052005S2010的值为 ()A2009 B2009 C2010 D2010答案:D解析:等差数列 an中, Sn是其前 n项和,则数列 也为等差数列,又 a12
5、010,Snn 2,则 是以 2010为首项,1 为公差的等差数列,则S20072007 S20052005 Snn2010(20101)(1)1, S2010的值为 2010,故选 D.S20102010二、填空题(4520 分)9设等差数列 an的前 n项和为 Sn.若 S972,则 a2 a4 a9_.答案:24解析:由等差数列的性质得 S99 a572, a58,则 a2 a4 a9 a1 a5 a93 a524,故填 24.10在等差数列 an中, a37, a5 a26,则 a6_.答案:13解析: an是等差数列,设公差为 d,3 d a5 a26.则 a6 a33 d7613.
6、11(2009陕西,13)设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a6 S312,则 an的通项an_.答案:2 n解析:由已知Error!Error!故 an2 n,故填 2n.12若 an是等差数列,首项 a10, a2003 a20040, a2003a20040,则使前 n项和- 3 -Sn0 成立的最大自然数 n是_答案:4006解析:解法一: S40064006(a1 a4006)2 0,4006(a2003 a2004)2 a20030, a20040, S4007 (a1 a4007) 2a20040,40072 400724006 为 Sn0 的最大自然数解法二: a10,
7、 a2003 a20040 且 a2003a20040, a20030 且 a20040, S2003为 Sn中的最大值, Sn是关于 n的二次函数,2003 到对称轴的距离比 2004到对称轴的距离小, 在对称轴右侧,据二次函数图象的对称性;4006 在图象中右侧零点 B的左侧,400724007,4008都在其右侧 Sn0 中最大的自然数是 4006.三、解答题(41040 分)13已知 an是一个等差数列,且 a21, a55.(1)求 an的通项 an;(2)求 an前 n项和 Sn的最大值命题意图:本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前 n项和公式,以及二次函数最值的求法解析:(1
8、)设 an的公差为 d,由已知条件, Error!,解出 a13, d2,所以 an a1( n1) d2 n5.(2)Sn na1 d n24 n4( n2) 2.n(n 1)2所以当 n2 时, Sn最大值为 4.14在等差数列 an中, Sn为 an的前 n项和, q, pN *,且 p q.(1)若 ap q, aq p,求证: ap q0;(2)若 Sp Sq,求证: Sp q0;(3)若 Sp q, Sq p,求证: Sp q( p q)证明:(1)由于 an是关于 n的一次函数,因此点( p, ap),( q, aq),( p q, ap q)共线, , ,ap q aqp q
9、q aq apq p ap q pp p qq p ap q0.(2)由于 Sn是关于 n的二次函数,可设为 f(n) an2 bn(a0)又 Sp Sq f(p) f(q),因此它的对称轴为 n , f(p q) f(0)0.p q2(3)由(2)可知 是关于 n的一次函数,因此点( p, ),( q, ),( p q, )在同Snn Spp Sqq Sp qp q一直线上, , Sp q( p q)Sqq Sppq pSp qp q Spp(p q) p- 4 -15(高考改编题)设 Sn是等差数列 an前 n项的和已知 S3与 S4的等比中项为 S5,13 14 15S3与 S4的等差中
10、项为 1,求等差数列 an的通项 an.13 14分析:运用等差数列前 n项和公式、通项公式,求首项 a1和公差 d.解析:解法一:设等差数列 an的首项 a1 a,公差为 d,则通项公式为:an a( n1) d,前 n项和为 Sn na .n(n 1)d2依题意有Error!由此可得Error!整理得Error!解得Error!或Error! an1 或 an4 (n1) n.125 325 125经验证,知 an1 时, S55; an n时, S54 均适合题意,故所求等差数列的325 125通项为 an1,或 an n.325 125解法二:因 Sn是等差数列的前 n项和,故可设 S
11、n an2 bn(a0),依题意得Error!解得Error!或Error!则 Sn n,或 Sn n2 n.65 265在等差数列中, an Sn Sn1 , an1 或 an n.325 125解法三:因 Sn是等差数列的前 n项和,易知数列 为等差数列,依题意得SnnError!解得Error!或Error!由此得 a4 S4 S31, a5 S5 S41 或 a4 , a5 ,165 285数列 an的公差 d0 或 .125则 an a4( n4)01,或 an a4( n4) n.(125) 325 125解法四:由题意 S32 a2, S42( a2 a3),S55 a3代入Er
12、ror!整理得Error!解之,得Error!或Error! an1 或 an n.325 12516(2009湖南十二校第一次联考)已知二次函数 y f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f( x)6 x2,数列 an的前 n项和为 Sn,点列( n, Sn)(nN *)均在函数 y f(x)的图象上(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn , Tn是数列 bn的前 n项和,求使得 Tn 对所有 nN *都成立的最小3anan 1 m20正整数 m.解析:(1)设这个二次函数 f(x) ax2 bx(a0),则 f( x)2 ax b,由于 f( x)- 5 -6 x2,得a3, b2
13、,所以 f(x)3 x22 x.又因为点( n, Sn)(nN *)均在函数 y f(x)的图象上,所以 Sn3 n22 n.当 n1 时, a1 S11,当 n2 时, an Sn Sn1 (3 n22 n)3( n1) 22( n1)6 n5,又 n1 时也符合故 an的通项公式为 an6 n5.(2)由(1)得 bn 3anan 1 3(6n 5)6(n 1) 5 ( ),12 16n 5 16n 1故 Tn (1 )( )( ) (1 ),12 17 17 113 16n 5 16n 1 12 16n 1因此,使 (1 ) (nN *)成立的 m,必须且仅需满足 ,即 m10,12 16n 1 m20 12 m20所以满足要求的最小正整数 m为 10.