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1、4-6 平面图,重点：掌握欧拉定理及其证明。,一、平面图1、定义4-6.1 如果无向图G=的所有结点和边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相交。无向图G称为平面图，否则称G为非平面图。,有些图形从表面看有几条边是相交的，但是不能就此肯定它不是平面图，例如，下面左图表面看有几条边相交，但如把它画成右图，则可看出它是一个平面图。,有些图形不论怎样改画，除去结点外，总有边相交。故是非平面图。,2、面、边界 定义4-6.2：设G是一连通平面图，由图中的边所包围的区域，在区域内既不包含图的结点，也不包含图的边，这样的区域称为G的一个面，包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界。面r的边界的长
2、度称为该面的次数，记为deg(r)。,定义4-6.3 设图G=是一连通平面图,由图中各边所界定的区域称为平面图的面(regions)。有界的区域称为有界面，无界的区域称为无界面。界定各面的闭的路径称为面的边界（boundary），面r的边界长度称为面r的度（degree）记为deg (r) ，又称为面r的次数 。,例如图,deg(r1)=3deg(r2)=3deg(r3)=5deg(r4)=4deg(r5)=3,deg(r1)+deg(r2)+deg(r3)+deg(r4)+deg(r5)=18,如边是两个面的分界线，该边在两个面的度数中各记1次。如边不是两个面的分界线(称为割边)则该边在该面
3、的度数中重复记了两次，故定理结论成立。,3.定理4-6.1 设G为一有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。, 证明思路：任一条边或者是两个面的共同边界（贡献2次），或者是一个面的重复边（贡献2次） ,4、欧拉定理 定理4-6.2（欧拉定理） 设G为一平面连通图，v为其顶点数，e为其边数，r 为其面数，那么欧拉公式成立 v e + r = 2,证明 （1）若G为一个孤立结点，则v=1，e=0，r=1，故 v-e+r=2成立。,（2）若G为一个边，即v=2，e=1，r=1，则 v-e+r=2成立。,（3）设G为k条边时，欧拉公式成立，即 vk-ek+rk=2。考察的情况。,因为在k条边的连通图
4、上增加一条边，使它仍为连通图，只有下述两种情况：,加上一个新结点b，b与图上的一点a相连，此时vk和ek两者都增加1，而面数rk没变，故（ vk +1）-（ ek +1）+ rk = vk-ek+rk=2。,用一条边连接图上的已知两点，此时ek和rk都增加1，结点数vk没变，故 vk -（ek +1）+（rk +1）=vk-ek+rk=2。,例：已知一个平面图中结点数v=10，每个面均由4条边围成，求该平面图的边数和面数。,解：因每个面的次数均为4，则2e=4r，即e=2r，又v=10，代入欧拉公式v-e+r=2有10-2r+r=2解得r=8，则e=2r=16。,说明：这是简单图是平面图的必要
5、条件。,5.定理4-6.3 设G为一简单连通平面图，其顶点数v3，其边数为e，那么 e3v 6, 证明思路：设G的面数为r,当v=3,e=2时上式成立,若e=3,则每一面的次数不小于3,各面次数之和不小于2e,因此 2e3r, r2e/3 代入欧拉公式: 2=v-e+rv-e+ 2e/3 整理后得: e3v 6 本定理的用途:判定某图是非平面图。,例如：K5中e=10，v=5，3v-6=9，从而e3v-6，所以K5不是平面图。,定理4.6.3的条件不是充分的。如K3,3图满足定理4-6.3的条件（v=6，e=9，3v-6=12，e3v-6成立），但K3,3不是平面图。,证明K3,3图不是平面图。,在K3,3中有6个结点9条边，2v-4=26-4=89,与 2v-4e 矛盾，故 K3,3不是平面图。,证明 假设K3,3图是平面图。,在K3,3中任取三个结点，其中必有两个结点不邻接，故每个面的次数都不小于4，由4r2e，re/2，即 v-e+e/2v-e+r=2， v-e/22， 2v- e 4， 2v-4e。,
