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1、概率论与数理统计工程数学教研室,引 言,?,概率统计是研究什么的,客观世界中发生的现象,确定性的在一定条件下必然发生的现象随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)股市的变化。,经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。 对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结
2、果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。 随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。,概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科 应用范围广泛。例如： 气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、 产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。 经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算频率与概率等可能概型(古典概型)与几何概型条件概率事件的独立性,1.1 随
3、机事件,一、随机试验（简称“试验”）随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。,E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地 面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。,随机试验的例子,随机试验,二
4、、样本空间,1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为S或； 2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点。,试给出E1E5的样本空间,三、随机事件,例1.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：,其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A=(2,
5、6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是S的子集。类似地，B=(1,1),(2,2),(6,6)，B也是S的子集。,1、随机事件随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件 为 基本事件(或简单事件)。 2、两个特殊事件 必然事件S S包含所有的样本点，是S自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件 空集不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。,课堂练
6、习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。,解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，十点，J，Q，K组成，即可表示为=1,2,13。(2)如果考虑整套牌，样本空间包含S，H，D，C的A，一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(11,1)，样本空间有52个样本点：,四、事件的集合表示任何一个事件都可以用S的某一个子集来表示,事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一
7、定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑
8、球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件,五、事件的关系与运算,1.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：AB AB且BA。,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB,2 n个事件A1, A2, An 的和事件：n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,2”可列个事件A1, A2, An 的和事件：可列个事件A1, A2, An 至少有一个发生，记作,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,3 n个事件A1, A2, An 的
9、积： n个事件A1, A2, An同时发生， 记作,3”可数（列）个事件A1, A2, An , 的积：可数（列）个事件A1, A2, An , 同时发生记作,4.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。,思考：何时A-B=? 何时A-B=A？,例1.2中 B=CD C=BC D=B-C,5.互斥的事件：AB= ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。,基本事件是两两互不相容的,例1.2中：AB= AC=,6. 互逆的事件 AB S, 且A B,A与B对立：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有
10、且仅有一个发生。,对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。,7.完备事件组,设A1,A2,An是有限个或可数个事件，若A1,A2,An 满足如下两个条件：（1）A1A2An =S，（2） A1,A2,An两两互不相容则称事件组A1,A2,An 为一个完备事件组。 在每次试验中，事件A1,A2,An 必有且仅有一个发生。,五、事件的运算规律,1、交换律：ABBA，A BB A2、结合律：(AB)CA(BC)， (A B) CA (B C)3、分配律(AB) C(A C)(B C)， (A B)C(AC) (BC)4、对偶(De Morgan)律：,例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射
11、击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,1.2 随机事件的概率,一、频率及其性质定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在这n次试验中发生了rn(A)次,则比值,称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作fn(A)，即,fn(A)=,频率具有如下的性质对任一事件A，0 fn(A) 1
12、；对必然事件S，fn(S)1；而 fn( )=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB，则 fn(AB) fn(A) fn(B)。,一般地，若事件A1， A2 ， An两两互不相容，则,事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。,历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K.
13、Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数n增大时， 随机事件A的频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。,二、概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？,1、概率的统计定义,设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的
14、幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0P(A)1, P(S)=1，P()=0。,设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(A)具有如下性质：非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ；完备性（规范性）：P(S)=1；可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有 P(A1A2An) = P(A1)+ P(A2) + P(An)+则称P(A)为事件A的概率。,2、概率的公理化定义,3、概率的性质,不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有有限可加性， 即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)， 且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性。,
