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1、1摘要经过分析可知，这是一个最优投资问题。本文主要探讨投资最优化问题。根据分析，建立数学模型，使投资获得的利润最大。这是典型的线性规划问题，本文在已有的A、B、C、D四种方案的基础上进行分析，结合数学建模的知识，对问题进行合理分析。因此我们要使用合理的方法、有效的手段，正确地计算出每种项目获得的最大利润，才能使资金安排得到优化，并结合有关的数学知识，建立数学模型，利用LINGO软件对模型进行求解，并分析其优缺点。针对此问题，按照要求可归为求效益、利润最大化的优化方案对问题进行建模，首先建立起单目标的数学模型，以五年后拥有的资金总数为目标函数,以资金的金额限制为约束条件，再运用LINGO软件对模
2、型进行求解，得到比较理想的结果：第1年年初对项目A投资71698.11元，对项目D投资28301.89元第2年年初对项目投资30000元第3年年初对项目投资82452.83元第4年年初和第5年年初不投资第5年年末该投资者收回本利共145066元，净赚金额为45066元，即盈利45.066%。此外，本文在最后对模型的优缺进行了综合理解及简要分析，使投资者充分了解，以使利润最大化。关键词：投资 线性规划 利润最大化 LINGO软件背景分析2随着中国经济的增长，国民财富的积累，中国市场经济的发展和金融产业的进一步发展，金融业综合经营步伐日渐加快。金融理财服务成为性质迥异的各类金融机构一致推出的服务概
3、念，正逐步普及普通民众。投资者以何种方式投资、何种规模、如何得到运用决定了投资者获益的情况。如何将有限的资源配置到市场需求的无限投资中去，满足项目投资配置的要求并取得最大的经济效益，是每个投资者必须要解决的问题，懂得投资的投资者一定是有效运用资本，获得利润最大化；而有效运用资本首先就面临着如何对资金的投资安排。问题重述某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：项目A 从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%项目B 从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125%项目C 从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能
4、超过3万元项目D 5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106%应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？模型假设市场复杂多变，因此进行模型假设是很重要的。不考虑投资过程中可能遇到的各种风险与政策变化。以下是我们做的合理性假设:1.五年内各项目的利率不变。2.五年内投资者不增加新的项目。4.这是一个连续投资过程且安全无风险。3.五年内投资者只用本金和利润进行投资。5.利润是固定的，与时间和每个项目投资金额有关。6.投资时不考虑纳税等费用，经济运行平稳健康。7. 因此假设随着时间的发展这是一个静态的过程1。符号说明1.Aij表示在方式i下第j年投资项目A的金额32.Bij表示在方式i下第
5、j年投资项目B的金额3.Cij表示在方式i下第j年投资项目C的金额4.Dij表示在方式i下第j年投资项目D的金额5.Yij表示在方式i下第五年年末可获得的总金额6. Y表示第五年年末获得的总金额问题分析本文研究的是投资决策问题。要求对资金合理安排投资，获得最大的利润。解决这类问题最常用方法就是线性规划方法。线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法，主要用于研究有限资源的最佳分配问题即如何对有限的资源做出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能，去获取最佳的经济效益。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计
6、划。投资决策方案方法繁多，规划理论和数学模型是处理某些类型的投资方案问题的有效工具。要求对资金合理安排投资，获得最大的收益。针对此问题：这是一个单目标多约束的最优化问题，我们可以通过建立单目标线性规划模型解决该问题，由于不考虑各项投资的风险，且总资金为100000元，要使得第五年年末的利润最大，设定目标函数的思路为：用各个项目最后一次投资的本利总和表示出第五年年末获得的本利。对于每各项投资资金的安排，要符合的约束条件为：每年年初的投资总额不能超过上一年年末收回的本利总和。目标函数是第5年年末拥有资金的本利息总金额。为使资金得到有效利用，应在每年年初将全部资金进行投资，每年年末收回各项投资的本利
7、息-作为第二年年初拥有的投资总金额，全部投入到第二年年初所有可能的投资机会中去，以此类推，每年年初的投资金额等于头年年末返回的本利总额，对这些资金流转分析加上各种投资金额的限制成为约束条件。由目标函数和约束条件，建立数学线性规划模型2。利用LINGO软件进行求解。本文解决的主要问题是:投资者利用自己有限的基金10万元，在今后5年内对下列4个项目进行投资，在不考虑投资风险的情况下进行合理的安排资金，使投资利润最大化。4具体步骤如下：1.分析各个投资项目情况：如投资利润、投资年限、投资金额等。 2.通过分析各个项目的关系和自身的情况列写出正确的方程和方程之间的联系。 3.利用程序求出结果。4.模型
8、检验。由题意可知： (1) 项目A需要从年初投资到次年年末，次年年末获益115%，历时2年，且只能在第一年年初到第四年年初内投资。 (2) 项目B在第三年年初投资，第五年年末获益125%，历时3年。 (3) 项目C在第二年年初投资（不超过3万元），第五年年末获益140%，历时4年。(4) 项目D每年年初可投资并于当年年末获益106%，历时1年。 (5) 各种投资金额总额限制以及项目C的投资总额不能超过3万元为约束条件。详述如下表：项目 项目A 项目B 项目C 项目D本利比 1.15 1.25 1.4 1.06时间 2年 3年 4年 1年其它 第1年到第4年年初投资，次年年末回收本利第3年年初投
9、资 第2年年初投资，不超过3万元每年均可投资根据以上条件进一步分析，列出线性方程，运用LINGO求解。设置决策变量，即设置决策过程中的可控因素，由于是动态连续投资问题，故需要求得每年年初的投资总金额。对于本文涉及到的问题，建立一个横方向的元素代表每年对该项目投资的金额，竖方向的元素代表每年年初对各项目的投资的金额含20个元素的二维数组，由于项目A在第14年年初可投资、项目B只在第3年初投资、项目C只在第2年年初投资，因此真正的未知元素只有11个，而且这11个未知数类型相同，更容易理解3。如表所示：单位（元）5项目时间 第一年年初 第二年年初 第三年年初 第四年年初 第五年年初项目A A11 A
10、12 A13 A14项目B B23项目C C32项目D D41 D42 D43 D44 D45由于假设的未知数都是每年年初的投资金额，其金额数不超过本年可用金额，项目C的投资金额有限制要求，其上述都可在约束条件中体现。在5年内，项目A是前四年投资次年年末收回，项目B是第3年投资，其它时 间不投资且到第5年回收，项目C是第2年投资其它时间不投资且到第5年回收，而项目D是每年都需要投资且每年都可回收。所以投资者每年可以把全部的资金用于投资。投资项目只有第一个项目和第三个项目主要原因是：第一个项目每年都可以投资并且年初投资年末就可以获得收益，而且可以用来在次年进行投资，而第三个项目的利润比较大，获得
11、的收益也比较大。所以这种投资可以获得较大的收益并且与事实相同。建立方程过程如下：第1年：该部门有100000资金可用于投资项目A和项目B。即： A11 + D41 =100000第2年：由于项目A第1年投资的资金到第2年年末才能收回，所以第2年投资的资金来自项目D第1年年末收回的利息。所以第2年年初投资应满足： A12 + C32 + D42 =1.06D41 第3年：第3年投资的资金是应是项目A第1年投资收回的本利和项目D第2年收回的本利。所以第3年年初投资应满足： A13 + B23 + D43 = 1.15A11 + 1.06D42第4年：第4年投资资金应是项目A第2年投资收回的本利和项
12、目D第36年投资收回的本利。所以第4年年初投资应满足：A14 + D44 = 1.15A12 + 1.06D43第5年；第5年投资的资金应是项目A第3年投资收回的本利和项目D第4年投资收回的本利。所以第5年年初投资应满足：D45 = 1.15A13 + 1.06D44又要求项目C的投资不超过30000元，则：C32=30000所以到第5年年末，获得的总金额应为:Y=1.15A14 + 1.25 B23 + 1.4C32 +1.06 D45模型的建立及求解投资者合理安排资金对项目进行投资是为了获得最好的投资收益，而投资者是想在时间最短和风险最小范围内能够获得最大的利润。在文中题目已知的条件下，如
13、果要使该投资者能够获得最大的投资收益，应该使该投资者的投资能够满足条件要求：投资时间、投资金额等。这样就可以建立一个类似于动态线性规划的模型，此模型能够求解出该投资者获得最大利润时的投资时间、投资项目。在不考虑投资风险的情况下，使投资金额最大、回收本金和利润之和最大即可。则目标函数为:MAX Y=1.15A14 + 1.25 B23 + 1.4C32 +1.06 D45约束条件为：A11 + D41 =100000A12 + C32 + D42 =1.06D41A13 + B23 + D43 = 1.15A11 + 1.06D42A14 + D44 = 1.15A12 + 1.06D43D45
14、 = 1.15A13 + 1.06D447C32=30000且以上变量均为非负通过上面的数学模型，我们可以用LINGO软件来转化，在投资得到最大利润问题的LINGO模型中，包含数据段、目标段、约束段。这个模型就是利用线性规划来实现五年后的总金额最大。总金额就是本金10万元加上各年的总利润之和。在模型解析问题的过程中，有几个重要的因素必须考虑：第一是每年所能投资的项目第二是每年所能投资的最大金额第三就是项目C每年最多只能投资三万元，这三方面因素缺一不可。源程序如下：max=1.15*A14+1.25*B23+1.4*C32+1.06*D45;A11+D41=100000;A12+C32+D42=
15、1.06*D41;A13+B23+D43=1.15*A11+1.06*D42;A14+D44=1.15*A12+1.06*D43;D45=1.15*A13+1.06*D44;C32=30000;LINGO软件操作如下4：8求得结果如下：最大收益MAX=145066元具体投资如下表： 9单位（元）项目时间 第1年年初 第2年年初 第3年年初 第4年年初 第5年年初项目A 71698.11 0 0 0 0项目B 0 0 82452.83 0 0项目C 0 30000 0 0 0项目D 28301.89 0 0 0 0即第1年年初对项目A投资71698.11元，对项目D投资28301.89元。第2年
16、年初对项目投资30000元。第3年年初对项目投资82452.83元。第4年年初和第5年年初不投资。投资者按照上表进行投资，就可获得最大利润。模型检验将具体问题数学化就是建立数学模型。我们就是用数学语言来描述实际问题，应用数学去解决实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的事情。模型建立的过程就是把错综复杂的问题简化、抽象为简单合理的数学过程。本文就是将投资问题用数学语言表达的一个案例。10万元经最优投资，到第五年年末共得到145066元，符合现实生活。通过上面的数学模型，我们可以用LINGO软件来转化，在投资获得最大利润问题的LINGO模型中，包含数据段、目标段、约束段。这个模型就是利用线性规划，来实现五年后的总金额最大。因为A1171698.11 ，假设A11 =71000元，则D41=2900
