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1、高中物理竞赛经典方法大全降维法第 1 页（共 14 页）十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图， 即应选两个合适的平面去观察， 当遇到一个空间受力问题时， 将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。 由于三维问题不好想像， 选取适当的角度， 可用降维法求解。 降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来， 使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。赛题精讲例 1：如图 13 1 所示，倾角 =30的粗糙斜面上放一物体，物体重为 G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力 F=G/2 推该物体， 物体恰好在斜面内做匀速直线运动， 则物体与斜面间的动摩擦因数
2、 等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析 ：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内， 不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，图 13 1甲、图 13 1乙所示。如图 13 1甲所示，推力 F 与重力沿斜面的分力 G1 的合力 F为：GGFF 22212F的方向沿斜面向下与推力成 角，则 451tan 1FG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与 F平衡，即 2/2GFf所以摩擦因数：3630cos2/
3、2GGFfN例 2： 如图 13 2 所示，一个直径为 D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为 h 的光滑的螺旋形凹槽， 槽内有一小球， 为使小球能自由下落， 必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析： 将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽， 如图 13 2甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距 h，当圆柱转 n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为 22122 atnD 高中物理竞赛经典方法大全降维法第 2 页（共 14 页）圆 弧 槽 内 小 球 下 降 的 高 度 为221 gtnh 解、 两式， 可得， 为使螺旋形槽内小球能自由下落， 圆柱体侧面绳子拉动的加速度应
4、为hDga例 3： 如图 13 3 所示， 表面光滑的实 心 圆 球 B 的 半 径 R=20cm ， 质 量M=20kg，悬线长 L=30cm。正方形物块 A 的厚度 h=10cm，质量 m=2kg，物体A 与墙之间的动摩擦因数 =0.2，取 g=10m/s 2。求：（ 1）墙对物块 A 的摩擦力为多大？（ 2）如果要物体 A 上施加一个与墙平行的外力，使物体 A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度 a=5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析： 这里物体 A、 B 所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析 A、 B 间压力和 A
5、对墙的压力； 在与墙面平行的平面内分析 A 物体沿墙水平运动时的受力情况。（ 1）通过受力分析可知墙对物块 A 的静摩擦力大小等于物块 A 的重力。 （ 2） 由于物体 A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受竖直向下的重力，所以推力 F 方向应斜向上。设物体 A 对墙的压力为 N， 则沿垂直于墙的方向， 物体 B 受到物体 A 的支持力大小也为 N，有 tan, MgNNf 而又因为43tan53sin 所以RLRh在与墙面平行的平面内，对物体 A 沿竖直方向做受力分析，如图 13 3甲所示有mgF sin沿水平方向做受力分
6、析，有 mafF cos由 以 上 各 式 ， 解 得)5/5arcsin(,520)()( 22 aNmafmgF因此， 对物体 A 施加的外力 F 的大小为 20 5 N，方向沿墙面斜向上且与物体 A 水平运动方向的夹角为 ).5/5arcsin(高中物理竞赛经典方法大全降维法第 3 页（共 14 页）例 4： 一质量 m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13 4 所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数 =0.20。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动， 角速度 ./40 srad 若沿平行于柱轴
7、的方向施力推着钢件做速度为sm /050.00 的匀速运动， 求推力是多大？ （设钢件不发生横向运动）解析： 本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向， 而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑 “降维” ， 即选一个合适的角度观察。 我们从上往上看，画出俯视图，如图 13 4甲所示。我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度 0 ，左边圆住有向右的速度 r ,则钢件相对于圆柱的速度是 0 与 r 的矢量差，如图中 v，即为钢件相对于圆柱的速度
8、，所以滑动摩擦力 f 的方向与 v，的方向相反，如图 13 4甲所示。以钢件为研究对象，在水平面上受到推力 F 和两个摩擦力 f 的作用，设 f 与圆柱轴线的夹角为 ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有22000)(22cos2rvvfvvffF 再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出 FN，如图 13 4乙所示，钢件受重力 G 和两个向上的支持力 FN，且 G=2FN，所以把 NN FfGF ,2代入式，得推力 NrvvmgrvvFFN 2)(22)(2 22002200例 5： 如图 13 5 所示，将质量为 M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为 ，设圆锥底面水平，链条静止
9、时也水平，求链条内的张力。解析： 要求张力，应在链条上取一段质量元 m 进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。作出俯视图 13 5甲，设质量元 m两端所受张力为 T，其合力为 F，因为它所对的圆心角 很小，所以2sin2TF，即 F=T 。再作出正视图 13 5乙，质量元受重力 m g、支持力 N 和张力的合力 F图 13 4乙高中物理竞赛经典方法大全降维法第 4 页（共 14 页）而处于平衡状态，由几何知识可得：2cot22cot MgmgF所以链条内的张力2cot22MgFT例 6： 杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。演员骑摩
10、托车从底部开始运动，随着速度增加， 圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶， 如图 13 6 所示。 如果演员和摩托车的总质量为 M， 直壁半径为 R，匀速率行驶的速率为 v，每绕一周上升的距离为 h，求摩托车匀速走壁时的向心力。解析： 摩托车的运动速度 v，可分解为水平速度 v1 和竖直分速度为 v2， 则向心力速度为Rva 21 。 处理这个问题的关键是将 螺 旋 线 展 开 为 一 个 斜 面 ， 其 倾 角 的 余 弦 为22)2(2coshRRa ，如图 13 6甲所示。所以有 vhRRvv221 )2(2cos向心加速度为： 222221 )2(2(hRRRvRva向心力)4(
11、422222hRRMvMaF例 7： A、 B、 C 为三个完全相同的表面光滑的小球， B、 C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点 O 为原点作一直角坐标系 zOxyz, 轴竖直向上， Ox 与两球的连心线重合，如图 13 7 所示。今让 A 球射向 B、 C两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前， A 球速度方向沿 y 轴正方向， 速率为 smv A /00.40 。 相碰后， A 球沿 y 轴负方向反弹， 速率 Av=0.40m/s 。（ 1）求 B、 C两球被碰后偏离 O 点的最大位移量；（ 2）讨论长时间内 B、 C 两球的运动情况。 （
12、忽略空气阻力，取 g=10m/s 2）解析： （ 1） A、 B、 C三球在碰撞前、后的运动发生在 Oxy高中物理竞赛经典方法大全降维法第 5 页（共 14 页）平面内，设刚碰完后， A 的速度大小为 Av ， B、 C 两球的速度分别为 Bv 与 Cv ，在x 方向和 y 方向的分速度的大小分别为 Bxv ， CyCxBy vvv ,和 ， 如图 13 7甲所示，由动量守恒定律，有 0BxCx mvmv ACyByAx mvmvmvmv 由于球面是光滑的，在碰撞过程中， A 球对 B 球的作用力方向沿 A、 B 两球的连心线， A 球对 C球的作用力方向沿 A、 C 两球的连心线，由几何关系
13、，得6tan6tanCyCxByBxvvvv由对称关系可知 CyBx vv 解、式可得 smvv CyBx /27.1smvv CyBx /20.2由此解得 smvv CyBx /54.2设 C 球在 x0,y0,z0 的空间中的最大位移为 ,OQ Q 点的 z 坐标为 zQ，则由机械能守恒定律可写出 QC mgzmv221 所以gvz CQ 22代入数值解得 zQ=0.32m 而 Q 点到 Oz 轴的距离为 )2()( 22 QQQ zLzzLLQD所以 C 球离 O 点的最大位移量 QQ LzODzOQ 222 代入数值，得 mOQ 13.1 由对称性，可得 B 球在 0,0,0 zyx
14、的空间的最大位移量 OP 为mOQOP 13.1 （ 2）当 B、 C 两球各达到最大位移后，便做回到原点的摆动，并发生两球间的碰撞，两球第一次返回 O 点碰撞前速度的大小和方向分别为smvBx /27.1 方向沿正 x 轴方向图 13 7 甲高中物理竞赛经典方法大全降维法第 6 页（共 14 页）Byv =2.20m/s 方向沿 y 轴方向smvCx /27.1 方向沿正 x 轴方向Cyv =2.20m/s 方向沿 y 轴方向设碰撞后的速度分别为 11 CB vv 和 ， 对应的分速度的大小分别为 xBv 1 、 yBv 1 、 xCv 1和 yCv 1 ，由于两球在碰撞过程中的相互作用力只
15、可能沿 x 轴方向，故碰撞后，沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的） ，即yBv 1 = Byv 方向沿负 y 轴方向yCv 1 = Cyv 方向沿负 y 轴方向碰撞过程中，沿 x 轴方向的动量守恒，则 CxBxxBxC mvmvmvmv 11因为 CxBx vv 所以 xBxC vv 11即碰撞后两球在 x 方向的分速度大小也相等， 方向相反， 具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。在 A 球与 B、 C 两球同时碰撞的过程中，碰撞前，三者的机械能mmvE AD 821 21 碰撞后三者的机械能122222 59.6212121 EEmmvmvmvECBA表明在碰撞过
16、程中有机械能损失，小球的材料不是完全弹性体，故 B、 C两球在碰撞过程中也有机械能损失，即)(21)(21)(21 222222 1111 YXXXYX BBCCBB vvmvvmvvm 11由、和 11 三式，和 CxBxCB vvvv xX 11 12或 CBCB vvvv 11当 B、 C两球第二次返回 O 点时，两球发生第二次碰撞，设碰撞后两球的速度分别为 22 CB vv 和 ，对应的分速度的大小分别为 yCxCBB vvvv yX 22, 22 和 ，则有 yyyy CBCB vvvv 1122 yxxx CBCB vvvv 1122或 12 BB vv 12 CC vv由此可见， B、 C两球每经过一次碰撞，沿 x 方向的分速度都要变小，即xxxxxxX CBCBCBCxB vvvvvvvv 332211 ,高中物理竞赛经典方法大
