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1、第八章 静定结构的内力与内力图【教学要求】1、理解静定结构的概念；2、掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的组合结构内力计算方法；3、熟悉各结构的受力特点【重 点】掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的内力计算【难 点】掌握平面刚架静定拱的内力计算【授课方式】 课堂讲解通过讲解例题熟练掌握。【教学时数】 共计 10 学时【教学过程】8.1 静定平面刚架 3 学时8.2 三铰拱的内力与合理拱轴线方程 2 学时8.3 静定平面桁架 3 学时8.4 静定结构内力计算小结及习题 1 学时8.5 组合结构内力计算 1 学时【小 结】【课后作业】8.1 静定平面刚架8.1.1 静定平面刚架的特点刚架 (亦称框架 )是
2、由横梁和柱共同组成的一个整体承重结构。刚架的特点是具有刚结点 ,即梁与柱的接头是刚性连接的，共同组成一个几何不变的整体。如图 a 所示简支刚架， b 所示悬臂刚架，2在受力方面，由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下， 是一种较好的承重结构， 所以刚架结构在工业与民用建筑中， 被广泛地采用。8.1.2 静定刚架的分类：简支刚架，悬臂刚架，三铰刚架8.1.3 静定刚架的内力计算及内力图1、内力计算（ 1）利用平衡条件（ 2）内力：剪力、轴力、弯矩2 内力图的绘制（ 1）对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受
3、拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。（ 2） 在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。（ 3）为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个脚标，第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示杆的另端。如 AB 杆 A 端的弯矩记为 MAB， B 端的弯矩记为 MBA； CD 杆 C 端的剪力记为 QCD 、 D 端的剪力记为 QDC 等等。注意： 全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力平衡条件进行校核。N图80kN m (-) FAXFBYFAYBCD Eq=20KN/m5mFBXq=2
4、0KN/mED CBA绘制刚架内力图时应注意的问题：（ 1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。（ 2）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后截面法计算。（ 3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。（ 4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。（ 5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。【例 8.1】 计算悬臂刚架刚的内力图注意： 悬臂梁不用求支反力。解： （ 1）求各杆端的杆端内力（ 2） 逐段做内力图。【例 8.2】 计算三铰刚架的内力图40kN (-) 40kN (+) A B C D 2m 2m 4m P=40kN q=2
5、0kn/mm M图40kN m 40kN m80kN m Q图FAYFAX ACDq=20KN/mFCYFCXDAFAXFAYFNDAFSDAFCXFCYq=20KN/mCFSDCFNDCMDCMDA(e)(d)(C) 图 8-3 解 （ 1）求支座反力。以刚架整体为研究对象，其受力图如图 8-3b 所示。由平衡条件得0BM ， 20 6 3 AyF 6=0 AyF =20 6 3 606 KN（）0Y ， AyF ByF 20 6=0 ByF = 20 6 60 = 60 KN（）0X , 0BxAx FFBxAx FF将刚架从铰 C处拆开，取左半个刚架为研究对象（图 8-3c ） ，由平衡
6、条件得Cm o ， AXF 5 - AyF 3320 3 02BxF =60 3 20 3 1.55 =18 KN BxF = AXF =18 KN （ 2）画内力图。 AD段的受力图如图 8-3d 所示，由平衡条件得mkNFM AXDA 905185 （外侧受拉）D C9090 9090图M (KN.m)(a)EB(b)图D1860CE1860(KN)A A BFS0ADM弯矩图在 AD段为直线，如图 6-34a 所示。kNFF SDASAD 18 （负剪力）60AD DAN N KN （压力）剪力图和轴力图在 AD段均为平行于轴线的直线，如图 8-4b 、 c 所示。DC段的受力图如图 8
7、-3e 所示。 DC段可视为悬臂梁， 以图 8-3c 的半个刚架为研究对象，求出较 C处的约束力。由平衡条件得0XF ， AXF CXF =0 CXF = 18KN 0YF ， AyF 20 3 CyF =0 CyF =0 DC 段相当于受有轴向压力的悬臂梁，在求得杆端内力后，即可方便地画出其内力图。由图 8-3e 可算出0CDM ， DCM =202 23 =90KN m ( 上部受拉 ) 0SCDF ， kNFSDC 60320 ( 正剪力 ) 18CD DCN N KN （压力）内力图分别如图 8-4a 、 b、 c 所示。(KN)D C EB60 6018(C)FN图1818KNKN6
8、060KNKNKN.m9090KN.mD(d)A图 8-4 注意： 求支反力时， 应先以整体结构为分离体求出两个竖向的支反力， 再以部分结构为分离体求出其余的支反力。由以上例题计算可知：在刚节点处无外力偶作用时，两杆端弯矩相等且同侧受拉。一般经过刚节点平衡的校核， 只能证明在刚节点处的内力计算无误。 为进一步检查刚架内力图是否正确，还可以从刚架中截取任一杆件 ，检查是否满足平衡条件，已达到校核内力图的目的。静定刚架内力图的绘制方法可归纳如下 ：1、求支反力；2、求各杆端的内力值，将刚架在刚节点处用垂直于杆轴线的截面截成若干杆件 -梁或柱，根据其平衡条件，分别画出单个杆件的内力图。3、逐杆作内力
9、图。4、内力图的校核。可截取某刚节点或某杆端为分离体，并验算它是否满足平衡条件。【小 结】计算刚架内力时： 先用垂直于杆轴的截面将刚架截成若干段梁或柱， 截面上的未知内力一般有剪力、 弯矩和轴力； 再用静定平衡方程求出杆端内力， 然后根据内力图的规律分段画出内力图； 最后可截取某刚节点或某杆段， 用静力平衡条件校核。【课后作业】教材： P166,习题 1. 8.2 三铰拱的内力与合理拱轴线方程P1 P2 A BCl/2 l/2f8.2.1 概述1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。图 8-7（ b） . (a) (b) 图 8-7 2、拱与曲梁的区别拱是杆轴线为
10、曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力的结 构3、特点：（ 1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（ 2）用料省、自重轻、跨度大。（ 3）可用抗压性能强的砖石材料。（ 4）构造复杂，施工费用高。4、工程实例广泛用于桥梁建筑外，在房屋建筑体育馆大跨度建筑使用。5、拱的分类三铰拱，两铰拱，无铰拱。6、拱的组成图 8-8 8.2.2 三铰拱的内力计算1、支反力的计算图 8-9 三铰拱的竖向反力与其等代梁的反力相等 ;水平反力与拱轴线形状无关 .荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比 . 比较拱与相应的简支梁可得0Ay AyF F0By ByF F0CHMFf2、内力计算拱的内力计算时，仍按截面法
11、计算，且截面应与拱轴垂直，该截面的位置由截面形心的坐标 x、 y 及该截面处拱轴切线的倾角 来确定。由于推力的存在， 拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。三铰拱内力计算举例例 8.3 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物曲线 ：q=10kn/m,M=100kn.m,求拱各截面之内力。HyMM KK 0sincos0KK HQQcossin0KK HQN2/)(4 lxlfxy图 8-11 (2）内力计算 ：一般先将共轴沿水平方向分成若干等分，求出各等分点截面的内力后， 即可绘出内力图。先以 x=12m 的 6 截面左侧为例说明计算步骤。（ 3）截面的几何参数
12、：根据拱轴线方程（ 4） 6 截面左侧的内力提问： 6 截面右侧的内力与左侧内力是否相同？例 8.4 试求图所示三铰拱 K 截面的内力，设拱轴方程解 : (1) 求支座反力（研究整体） ：00BAMMknfMHHknVVknVVCBAAABB5.274 100825.26)(75.5316 10012810)(25.2616 1004810000校核 : 081025.2675.53Ymlxlfxy 316/)1216(1244/)(4 225.016/)12216(44/)2(4/tan 22lxlfdd xy894.0cos,447.0sin,3426 /0mkNyFMM HLL .1.8
13、435.278810127.53066kNFCOSFF HSS18.11)447.0(5.27894.0)81075.53(sin0kNFFF HSN86.12894.05.27)447.0()81075.53()cossin( 02/)(4 lxlfxyA BqC(b)LxfA BCy(a)q图 8-12 注意：竖向荷载推导的公式在计算水平荷载作用下的内力时不适用。8.2.4 三铰拱合理拱轴的概念1、合理拱轴的概念：（ 1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。（ 2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理
14、拱轴。例 8-5 试求如图 8-13a 所示三铰拱在满跨均布荷载作用下的合理拱轴。解 作出相应简支梁如图 8-13b 所示，其弯矩方程为0 1 ( )2M qx l x由式求得水平推力为0 28CHM qlFf f由式可得合理拱轴的轴线方程为2 21 ( )42 ( )8qx l x fy x l xql lf图 8-13 由此可见，在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴是二次抛物线。应当注意， 三铰拱的合理拱轴只是对一种荷载情况而言的， 不同的荷载有不同的合理拱轴。 工程中， 拱可能受到多种荷载的作用， 通常以主要荷载作用下的合理拱轴作为拱轴线。【小 结】拱是一种外形为曲线且在竖向荷载作用下
15、产生水平推力的结构。 水平推力是拱的力学特性。 拱的内力一般有剪力、 弯矩和轴力。 由于水平推力使拱的弯矩比对应简支梁的弯矩小很多， 还可采用合理拱轴， 使拱在给定荷载作用下处于无弯矩状态。 拱是主要承受压力的结构，【课后作业】教材： P166,习题 2。8.3 静定桁架的内力计算8.3.1 概述1、桁架的简化计算1） 、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等） 。2） 、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。3） 、取桁架计算简图时采用的假定：（ 1）各杆两端用理想铰联结；（ 2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。（ 3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。通常
16、把理想情况下计算出的内力称为“主内力” ；因理想情况不能完全实现的而出现的内力称为“次内力” 。2、桁架各部分的名称及分类1） 、名称：图 8-14 上弦杆下弦杆竖杆斜杆桁高（ h) 节间长度 (d) 跨度（ l）a F(b)(a) (c)FN1FN2FN1FN2FN1 FN1FN2 FN20FFN1FN1FN2FN2 0FN3FN3= =(d)FN1FN2FN3FN4= -F N4FN3=FN3FN3FN2FN2FN1FN1FN4FN4(e)2） 、分类：（ 1）按外形分： 平行弦、折弦、三角形、梯形等。（ 2）按竖向荷载作用下支座是否产生水平推力分：（ a）无推力桁架（梁式桁架） ；（ b）有推力桁架（拱式桁架） 。（ 3）按几何组成分：a)简单桁架：由基础或基本铰结三角形开始，依次增加二元体而形成的桁架。b)联合桁架：若干个简单桁架按几何不变体系组成规则铰结而成的桁架。c)
