《上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性4（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4 时变系统的能控性和能观性一、能控性判据1、有关线性系统能控性的几点说明1）允许控制 u(t) ，其元在时间 t 0,t f 上绝对平方可积。2）能控状态和控制作用的关系式d)(u)(B),t(d)(u)(B),t()t,t(X0d)(u)(B),t(X)t,t()t(Xf0f0f0tt 0tt f0f10tt f00ff)8.3.4(d)(u)(B),t(X f0tt 00 3）非奇异变换不改变系统的能控性设系统在变换前是能控的，它必满足（ 4.3.8 ）即 d)(u)(B),t(X f0tt 00 若取变换矩阵 P，对 X 进行线性变换XPX则有 BPBAPPA 11即 BPBPAP
2、A 1将上述关系式代入（ 4.3.8 ）式，有d)(u)(B),t(Xd)(u)(BP),t(PXd)(u)(BP),t(XPf0f0f0tt 00tt 010tt 00上式表明非奇异变换不改变系统的能控性4）如果 0X 是能控状态，则 0X 也是能控状态， 是任意非零实数。5）如果 01X 和 02X 是能控状态，则 0201 XX 也是能控状态。6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间， 此子空间称为系统的能控子空间，记为 cX 。例： u11xx1001xx2121解：系统的能控状态为 21 xx 的状态，为两维状态空间中的一条 450斜线。2
3、、线性连续时变系统的能控性判据1） 【定理】时变系统的状态方程为)t(U)t(B)t(X)t(A)t(X系统在 t 0,t f 上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵f0tt 0TT0f0c dt)t,t()t(B)t(B)t,t()t,t(W为非奇异。证明：略例：试判断下列系统的能控性u10xx00 t0xx2121解： （ 1）首先求状态转移矩阵.d000!21d000I)t,0()t(A)t(A)t(A)t(A20t0t122110t211 2（ 2）计算能控性判别阵 )t,0(Wc fft0TTfc dt)t,0()t(B)t(B)t,0()t,0(Wf3f3f5ft0 2242t0
4、2fctt61t61t201dt1t21t21t41dt1t2101101010t211)t,0(Wff（ 3）判别 )t,0(Wc f 是否为非奇异det6f6f6ff t451t361t201)t,0(Wc当 0t451)t,0(Wcdet,0t 6fff所以系统在 0,t f 上是能控的2） 【定理】 （充分条件）设系统的状态方程为)t(U)t(B)t(X)t(A)t(XA(t),B(t) 的元对时间 t 分别是 n 2 和 n 1 次连续可微的。记 1n,.,2,1k)t(Mdtd)t(M)t(A)t(M)t(B)t(M1k1kk0令 )t(M)t(M)t(M)t(Q 1n10c如果存
5、在某个时刻 0t f ，使得在时间区间 t 0,t f 上如有 n)t(rankQc则该系统在 t 0,t f 上是状态完全能控的。证明：略例： （上例）试判断下列系统的能控性u10xx00 t0xx2121解：t)t(Qdet01t0)t(M)t(M)t(Q0t1000t0)t(M)t(M)t(A)t(M10B)t(Mc10c0010只要 t 0 rankQ c(t)=n=2 所以系统在时间区间 0,t f 上是能控的二、能观性判别1、有关线性系统能观性的几点讨论1）不能观测状态的数学表达式t,tt0)t(X)t,t()t(C f000 （ 4.3.9 ）2) 非奇异变换不改变系统的能观性3
6、）如果 0X 是不能观状态，则 0X 也是不能观状态， 是任意非零实数。4）如果 01X 和 02X 是不能观状态，则 0201 XX 也是不能观状态。5）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的不能观状态构成状态空间中的一个子空间， 此子空间称为系统的不能观子空间，记为 oX 。例：212121xx11yxx1001xx解：系统的不能观状态为 21 xx 的状态，为两维状态空间中的一条 450斜线。2、线性连续时变系统的能观性判据1） 【定理】时变系统的状态方程为)t(X)t(C)t(y)t(U)t(B)t(X)t(A)t(X系统在 t 0,t f 上状态完全能观的充分必要条件是格拉姆
7、矩阵f0tt 0T0Tf00 dt)t,t()t(C)t(C)t,t()t,t(W为非奇异。证明：略2） 【定理】 （充分条件）设系统的状态方程为)t(X)t(C)t(y)t(U)t(B)t(X)t(A)t(XA(t),C(t) 的元对时间 t 分别是 n 2 和 n 1 次连续可微的。记1n,.,2,1k)t(Ndtd)t(A)t(N)t(N)t(C)t(N1k1kk0令)t(N)t(N)t(N)t(Q1n10o如果存在某个时刻 0t f ，使得在时间区间 t 0,t f 上如有 n)t(rankQo则该系统在 t 0,t f 上是状态完全能观的。证明：略例：系统的 A（ t ） ， C（
8、t ）分别为101)t(Ct000t001t)t(A2试判别其能观性。解：n3)t(rankQ0ttt2t2t1t1t101)t(N)t(N)t(N)t(Qtt2t2t1t201t000t001tt1t)t(N)t(A)t(N)t(Nt1tt000t001t101)t(N)t(A)t(N)t(N101)t(C)t(No422210o4222112220010所以，该系统在 0,t 上是状态完全能观的三、 连续时变系统能控性和能观性判别法则和连续定常系统的判别法则之间的关系利用定理：一个矩阵 )t,t(h)t,t(h)t,t(h)t,t(H 0n02010式中 )t,t(h 0i 为列矢量，当且
9、仅当 )t,t(H 0 构成的格拉姆矩阵 f0tt 00T dt)t,t(H)t,t(HG 为非奇异时， )t,t(h 0i （ i=1,2, n）列矢量是线性无关的。结论：格拉姆能控性矩阵的非奇异 rankQ c n 格拉姆能观性矩阵的非奇异 rankQ o n 说明：1）说明格拉姆能控性矩阵的非奇异 rankQc n 因为格拉姆能控性矩阵为 f0c t,tW ，即f0f0tt 0TTT0TTtt 0TT0f0cdt)t,t()t(B)t,t()t(Bdt)t,t()t(B)t(B)t,t()t,t(W因此， f0c t,tW 非奇异与 )t,t()t(B 0TT 的列矢量线性无关等价； 或
10、 f0c t,tW 非奇异与 )t(B)t,t( 0 的行矢量线性无关等价。在线性定常系统中有)tt()tt()tt(BAABBBA)tt(BeB)tt(01n01001n1n0jj0j)tt(A00所以， f0c t,tW 非奇异与 Qc 的行矢量线性无关等价。2）同理可说明：格拉姆能观性矩阵的非奇异 rankQo n 4.5 能控性与能观性的对偶原理能 控 性 和 能 观 测 性 之 间 存 在 内 在 的 关 系 。 介 绍 由R.E.Kalman 提出的对偶原理。一、线性定常系统的对偶原理考虑由下述状态空间表达式描述的系统 1：11111111xCyuBxAx式中， nm1rn1nn1
11、m1r1n1 RC,RB,RA,Ry,Ru,Rx 。以及由下述状态空间表达式描述的系统 2：22222222xCyuBxAx式中， nr2mn2nn2r2m2n2 RC,RB,RA,Ry,Ru,Rx 。 1 和 2互为对偶的条件为：T12T12T12 BCCBAA对偶原理：当且仅当系统 1 状态能观测（状态能控）时，系统 2才是状态能控（状态能观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统 1 和 2 的状态能控和能观测的充要条件。对于系统 1：1. 状态能控的充要条件是 n nr 维能控性矩阵BABAB 11n1111的秩为 n。2. 状态能观测的充要条件是 n nm维能观测性矩阵C)A(CAC
12、T11nT1T1T1T1的秩为 n。对于系统 2: 1. 状态能控的充要条件是 n nm维能控性矩阵C)A(CAC T11nT1T1T1T1的秩为 n。2. 状态能观测的充要条件是 n nr 维能观测性矩阵BABAB 11n1111的秩为 n。对比这些条件， 可以很明显地看出对偶原理的正确性。 利用对偶原理可知，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：TTT BCCBAA ,由对偶系统的定义可得出的结论：1、互为对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。2、互为对偶系统的特征方程是相同的。二、时变系统的对偶原理时变系统的对偶关系和定常系统的对偶关系稍有不同！时变系统 1 111 )(),(),( tCtBtA 和 2 222 )(),(),( tCtBtA ，若满足下列关系，则称 1 和 2 是互为对偶的。)()()()()()(121212tBtCtCtBtAtATTT根据上述定义， 可以推导出 互为对偶的两个系统的状态转移矩阵互为转置逆 。),(),( 0102 ttttT式中 ),( 01 tt 为 1的状态转移矩阵),( 02 tt 为 2的状态转移矩阵证明：利用定义对偶原理：当且仅当系统 1 状态能观测（状态能控）时，系统 2才是状态能控（状态能观测）的。证明： 需利用 ),(),( 0102 ttttT
