《幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案如果 a（ a 0， a 1）的 b 次幂等于 N，就是 ab=N，那么数 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaN=b ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数，式子 logaN 叫做对数式练习 1 把下列指数式写成对数形式：练习 2 把下列对数形式写成指数形式：练习 3 求下列各式的值：因为 22=4，所以以 2 为底 4 的对数等于 2因为 53=125，所以以 5 为底 125 的对数等于 3师：由定义，我们还应注意到对数式 logaN=b 中字母的取值范围是什么？生： a 0 且 a 1； b R； N R师： N R？（这是学生最
2、易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零 ）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而 ab=N 中 N 总是正数师：要特别强调的是：零和负数没有对数师：定义中为什么规定 a 0， a 1？生：因为若 a 0，则 N 取某些值时， b 可能不存在，如 b=log（ -2） 8 不存在；若 a=0，则当 N 不为 0 时，b 不存在，如 log02 不存在；当 N 为 0 时， b 可以为任何正数，是不唯一的，即 log00 有无数个值；若 a=1， N不为 1 时， b 不存在，如 log13 不存在， N 为 1 时， b 可以为任何数，是不唯一的，即 log11 有无数多个值
3、因此，我们规定： a 0， a 1师： （板书）对数 logaN（ a 0 且 a 1）在底数 a=10 时，叫做常用对数，简记 lgN ；底数 a=e 时，叫做自然对数，记作 lnN，其中 e 是个无理数，即 e 2.718 28练习 4 计算下列对数：lg10000， lg0.01， 2log24， 3log327 ， 10lg105， 5log51125师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想生： 2log24=4 这是因为 log24=2，而 22=4生： 3log327=27这是因为 log327=3 ，而 33=27生： 10lg105=105 生：我猜想 alogaN=N ，所以
4、 5log51125=1125 alogaN=N（ a 0， a 1， N 0） （用红笔在字母取值范围下画上曲线）证明：设指数等式 ab=N，则相应的对数等式为 logaN=b ，所以 ab=alogaN=N 师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义师： （分析小结）证明的关键是设指数等式 ab=N因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义， 所以显然要利用定义加以证明 而对数定义是建立在指数基础之上的， 所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件生： a 0， a 1， N 0师： （板书）
5、 2log28= ？ 2log42=？生： 2log28=8 ； 2log42=2 师：第 2 题对吗？错在哪儿？师： （继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式alogaN=N师：负数和零有没有对数？并说明理由生：负数和零没有对数因为定义中规定 a 0，所以不论 b 是什么数，都有 ab 0，这就是说，不论 b 是什么数， N=ab 永远是正数因此，由等式 b=logaN 可以看到，负数和零没有对数师： （板书）性质 1：负数和零没有对数师： 1 的对数是多少？生：因为 a0=1（ a 0， a 1） ，所以根据对数定义可得 1 的对数是零师：
6、（板书） 1 的对数是零师；底数的对数等于多少？生：因为 a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于 1师： （板书）底数的对数等于 1生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 am an=am+n同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 am an=am-n还有（ am） n=amn；师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则 （板书）（ 1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和即loga（ MN ） =logaM+logaN （请两个同学读法则（ 1） ，并给时间让学生讨论证明 ）师： （分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定
7、义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式师： （板书）设 logaM=p ， logaN=q ，由对数的定义可以写成 M=ap， N=aq所以M N=ap aq=ap+q，所以 loga（ M N） =p+q=logaM+logaN 即 loga（ MN ） =logaM+logaN 师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即 M 0， N 0； a 0 且 a 1师：观察法则（ 1）的结构特点并加以记忆生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算师：
8、非常好例如， （板书） log2 （ 32 64） =？生： log2（ 32 64） =log232+log264=5+6=11 师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用降级运算它使计算简化师： （板书） log62+log63= ？生： log62+log63=log6 （ 2 3） =1师：正确由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用是升级运算师： 对 对于运算法则 （公式） ， 我们不仅要会从左往右使用， 还要会从右往左使用 真正领会法则的作用！师： （板书） （ 2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数师：仿照研究法则（ 1）的四个步骤，自己学习（给学生三分
9、钟讨论时间 ）生： （板书）设 logaM=p ， logaN=q 根据对数的定义可以写成 M=ap ， N=aq所以师：非常好他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的大家再想一想，在证明法则（ 2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（ 1）这个结论那么，我们是否还有其它证明方法？生： （板书）师：非常漂亮他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（ 1）去证明法则（ 2） 他的证法要比书上的更简单这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛师：法则（ 2）的适用条件是什么？生： M 0，
10、 N 0； a 0 且 a 1师：观察法则（ 2）的结构特点并加以记忆生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算师： （板书） lg20-lg2= ？师：可见法则（ 2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法例 1 计算：生： （板书）解（ 1） log93+log927=log93 27=log981=2 ；（ 3） log2（ 4+4） =log24+log24=4 ；（由学生判对错，并说明理由 ）生：第（ 2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则 （板书）生：第（ 3）题错！法则（ 1）的内容是：生：第（ 4）题错！法则（ 2）的内容
11、是：生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（ 1） 、 （ 2） ；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（ 1） 、 （ 2） 师： （板书） （ 3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数即loga（ N） n=n logaN 师： （分析）欲证 loga（ N） n=n logaN，只需证Nn=an logaN= （ a logaN） n，只需证 N=alogaN 由对数恒等式，这是显然成立的师： （板书）设 N 0，根据对数恒等式有N=alogaN所以 Nn=（ alogaN） n=an logaN根据对数的定义有loga（ N） n=n
12、 logaN 师：法则（ 3）的适用条件是什么？生： a 0， a 1； N 0生：从左往右仍然是降级运算师：例如， （板书） log332=log525=5log52 练习计算（ log232） 3错解： （ log232） 3=log2 （ 25） 3=log2215=15 正确解： （ log232） 3=（ log225） 3=（ 5log22） 3=53=125师： （板书） （ 4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数即师：法则（ 4）的适用条件是什么？生： a 0， a 1； N 0师：法则（ 3）和法则（ 4）可以合在一起加以记忆即 logaN= logaN （ R） （师板书）例 2 用 logax， logay， logaz 表示下列各式：解（注意（ 3）的第二步不要丢掉小括号 ）例 3 计算：解（ 1） log2（ 47 25） =log247+log225=7log24+5log22=7 2+5 1=19
