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1、硕 士 学 位 论 文 开 题 报 告学 号_ _ _2014210432_ _ _ _姓 名_ 陈亚美_ _ _ _院 系_ 数理与信息科学学院_专 业_ 基础数学 _ _研究方向_ 非线性泛函分析_ _导师姓名_ 杨敏波 _ _拟定学位论文题目奇异指数临界增长的非线性N-Laplace 方程解的存在性浙 江 师 范 大 学 研 究 生 学 院 制 表2015 年 12 月 31 日与选题有关的国内外研究综述，选题的理论意义和实际意义研究的背景早在 1965 年，Pohozaev 讨论了 Dirichlet 问题（1.1） ()0,|ufA他发现了一个重要的恒等式（1.2）22()2)(.)
2、nFudxnufdxvDuds这里的 是 中的 区域，函数 连续， 是半线性椭圆方程（1.1）NR1,0Cf21()C的解， 为点在 上的单位外法线向量。他利用恒等式（1.2）得0()(),()uftdvtx到：若 是 中的有界星形区域，且函数 在 R 上满足 （其中N ()fu(2)()0nufnF） ，则问题（1.1）没有非平凡解。后来人们把这个恒等式取名为 Pohozaev 恒等式。u近几年来，许多研究者研究了 方程解的存在性 、NLaplceBrezis、 、 和 做了不少创建性的工作，证明了非线性椭圆方程解的irenbgBartshWilemCozi存在性和多样性.国内外的不少作者研
3、究了如下方程 1,0 () pinufx其中 是一个有界光滑区域 ,NR1()|,2ppudivu1|()|(|),qfxuc*21,3.qAlama、Li、Ding 和 Ning 考虑当 时，半线性的薛定谔方程 ,2NRp1,0 (),)NuVxfuiWn其中 |(,)|(|),qfxuc*2,3.在研究上述两个问题的时候，我们用到了 Sobolev 嵌入定理、临界点定理和山路引理。Adimurthi、Yadava 和 Ruf et al.研究了当 时的情况。研1|,|,()NupNufxe究成果借助于 不等式和临界点定理。TurdingMoserYunyan Yang 也在他的论文中介绍了
4、拟线性方程 2(,)()| (2).|NNNfxuVxR 假设下列条件成立：( ) ，且 是一个连续函数.1V0 ,NxinR0V()x( ) 当 时， .2|()x( ) 存在常量 使得对于所有的1H012,b(,),NsR1021|102|(,)| !NksNkfxusbe( ) 存在 使得对于所有的 和 有 ；2HNxRs0(,)(,)(,)sFxfxtdsf( ) 存在常量 使得对于所有的 和 有 .30,RM0R,M在这篇论文中用到了山路引理、Sobolev 嵌入定理、临界点理定理和 Morse 函数序列，微分方程的边值问题的弱解就是相应泛函的临界点，找到它的相应泛函取极小值。但是不
5、能说它的两个弱解是不同的，用条件函数( ) 代替条件（ ） ，加上条件2V1()(NLRx2V对于 ,由此可得，方程有两个不同的解。 5()H10,limnf(,) NsNsxRxeSarika、Goyal 和 K.Sreenadh 研究的是具有非奇异指数阶的拟线性 N-Laplace 方程11,2| |()| () ()0, )NpN NuqNuVxehxinRxP WNehari 流形：假设 ,且 是 的临界点的一个必要条件是1()NCXR(0).uX这个条件定义了一个 Nehari 流形(),0,u:(),0.uEuler 函数 ()J11()(|()| |N NNqRRRFuVxudx
6、hudx首先找出方程的 Nehari 流形，定义 Euler 函数，讨论关于函数的一些引理，结合（PS）条件，山路引理和 Sobolev 嵌入定理确定合适的 ，使得 ，方程至少存在两个正解。00(,)研究的意义：方程在当今科学研究领域中扮演着重要的角色.近年来,很多源于物理学,工程学等科学领域,具有实际应用背景的微分方程边值问题引起了人们的极大兴趣.众多作者综合运用变分法,山路引理，临界点理论等多种方法分析研究方程解的存在性与多重性.方程在物理、化学、生物、金融数学等不同的学科领域已得到广泛的应用。具N-Laplace算子的微分方程边值问题也早已运用到工程、物理学等领域，随着分数阶微分方程在实
7、际生产和生活中的不断应用，关于分数阶微分方程边值问题理论的研究已引起了国内外学者的广泛关注并逐渐成为研究热点。椭圆型偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用很广泛,许多重要的物理,力学学科的基本方程本身就是偏微分方程,许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述.因此,求解偏微分方程就变得很重要. N-Laplace方程在晶体错位、守恒律、金融、火焰传播、极小平面、多元散射、材料学、最优化等方面都有广泛应用，近几年来得到了广泛关注。我主要做的是N-Laplace算子的分数阶非奇异方程解的存在性，涉及正解的存在性、唯一性、多解性及不存在正解等情况，做一些讨论。主要是用流行的方法去讨论.解的存在
8、性和多解性的研究是具有非常重要的意义，变分法思想的产生对方程解的存在性起着着重的意义，由研究方程本身到研究方程所对应的能量泛函的临界点的问题，从而我们研究解的存在性问题变得更加简便。研究内容、所要解决的主要问题及研究途径与方法(预期思路或技术路线)研究内容我接下来要做的是用 Pohozaev manifold 的方法去研究下列 N-Laplace 方程解的存在性12 1, ()() (),()0, NpNuqN NuVxehxiPxnRuW在这里 是一个连续函数 ，2():NNNdivR2,01qp,用 Pohozaev manifold 的方法，证明存在 使得 ，方 0,), hin 00(
9、,)程的解存在。所要解决的主要问题方程乘上 和 ，计算证明出 Pohozaev 恒定式，并找到方程 所对应的 Pohozaev xu()Pmanifold，研究流形具有的性质，把流形和引理结合起来。研究途径与方法首先证明 Pohozaev 恒定式，然后找到方程 所对应的 Pohozaev manifold，引入()PEuler 函数 ()Ju11()(|()| |N NNqRRRFuVxudxhudx证明一些引理来说明 PS 序列的存在，进而讨论函数的各种性质，结合山路引理、临界点定理找到 的最小值，确定合适的 使得 ，方程的解存在。()Ju 00(,)研究步骤：先收集资料，然后阅读大量相关文
10、献并体会其中的思想方法，找出其内在规律联系，并期望对上述问题的研究能有所进展；最后，我将进一步收集与上述问题相关的论文资料，查询已有的文献资料，关注国内外有关研究的最新进展，在导师的指导下开展上述三方面的研究，争取早日完成硕士论文主要参考资料：1 Adimurthi, Existence of positive solutions of the semilinear Dirichlet problem with critical growth for the n-Laplacian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (1990) 393413.2
11、 Adimurthi and K. Sandeep, A singular MoserTrudinger embedding and its applications, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 13 (2007) 585603.3 Adimurthi and Y. Yang, An interpolation of Hardy inequality and TrudingerMoser inequality in RN and its applications, Int. Math. Res. Notices 13 (2010)
12、 23942426.4 Alves, C., Miyagaki, O., do, J.M.: Nonlinear perturbations of a periodic elliptic problems inR2 involving critical growth. Nonl. Anal. 56, 781791 (2004)5LilianeA.Maia Positive solutions of a symptotically linear equations via Pohozaev manifold.RaquelLehrera.6A.Ambrosetti, G.Cerami, D.Rui
13、z, Solutions of linearly coupled systems of semilinear non-autonomous equations on R N, J.Funct.Anal.254 (2008)28162845.7M.Willem, Minimax Theorems, vol.24, Birkhaser, Boston, 1996.8Yunyan Yang, Existence of positive solutions to quasi-linear elliptic equations with exponential growth in the whole E
14、uclidean space, 2011.9 M. Struwe, Criticals points of embeddings of H1, into Orlicz spaces, Ann. Inst.Henri Poincare 5(5) (1988) 425464.10 G. Tarantello, On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent,Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonlineaire 9 (1992) 281304.11 J. L. Vazquez
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