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1、第5章 频率法,5-1 频率特性的概念,5-2 典型环节的频率特性,5-4 控制系统的频域稳定判据（奈氏判据）,5-5 稳定裕量,5-6 开环系统频率特性与闭环系统性能的关系,5-3 开环系统频率特性图的绘制,基本思想： 通过开环频率特性的图形对系统进行分析。数学模型频率特性。主要优点：,（1）不需要求解微分方程；（2）形象直观、计算量少；（3）可方便设计出能有效抑制噪声的系统 ；,5-1 频率特性的概念,一、频率特性的基本概念,频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。,在稳态情况下，输出电压,频率特性的定义：,零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下，稳态输出与输入的复数比。,与传递函数的关
2、系：,已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳 态分量和输入正弦的复数比；根椐传递函数来求取；通过实验测得。,A() 称幅频特性，()称相频特性，G(j) 称为幅相频率特性。,二、频率特性的求取,三、频率特性的物理意义,频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。,【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin 2t时系统的稳态输出y(t)。,解：系统的频率特性,=2时，,则系统稳态输出为：y(t)=0.35*2sin(2t-45o ) =0.7sin(2t-45o),四、闭环频域性能指标,（1）零频振幅比A(0)
3、指零频(=0)时，系统稳态输出与输入的振幅比。A(0)与1之差的大小，反映了系统的稳态精度.,（2）谐振峰值 Ar是指幅频特性A()的最大值. 反映了系统的平稳性。,（3）频带宽度b是指幅频特性A()从A(0)衰减到0.707A(0)时所对应的频率,也称截止频率。反映了系统的快速性。,（4）相频宽 b 是指指相频特性()=-/2时所对应的频率。反映了系统的快速性。,频域性能指标图示,五、频率特性的图形表示方法,1）直角坐标系直接图示法（ ）,2）对数频率特性曲线（Bode图）,3)幅相频率特性曲线（又称极坐标图Polar Plot 或奈氏图）,半对数坐标系,比例环节积分环节微分环节 惯性环节（
4、一阶系统） 一阶微分环节 振荡环节（二阶系统）一阶不稳定环节,5-2 典型环节的频率特性,一、比例环节,传递函数:,频率特性:,2. 对数频率特性,3.幅相频率特性,1. 幅频特性 及相频特性,二、积分环节,传递函数:,频率特性:,2. 对数频率特性,1. 幅频特性 及相频特性,3.幅相频率特性,三、微分环节,传递函数:,频率特性:,2. 对数频率特性,1. 幅频特性 及相频特性,3.幅相频率特性,四、惯性环节（一阶系统）,传递函数:,频率特性:,频带越宽，调节时间越短。,1. 幅频特性 及相频特性,(2),(1)当 时,2. 对数频率特性,五、一阶微分环节,传递函数:,频率特性:,2. 对数
5、频率特性,1. 幅频特性 及相频特性, ，,3. 幅相频率特性,六、 振荡环节（二阶系统）,传递函数:,频率特性:,1. 幅相频率特性,（特征点起始点、中间点、终止点）,当=0时，U()=1,V()=0.起始点在实轴上的（1，j0）处。,当=n时，U()=0,V()=-1/2。,当=时，U()=0,V()=0。,由幅相特性曲线可得:,当n时，幅值迅速衰减，且衰减的速度要高于一阶系统。,2. 幅频特性 及相频特性,相频特性,特征点1:,特征点2:,谐振频率,谐振峰值,时,令,出现谐振,阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）,此时:,3. 对数频率特性,求近似对数幅频特性曲线:（首先令=
6、1，无谐振，01时，,相频特性曲线:,七、一阶不稳定环节,传递函数:,频率特性:,1. 幅相频率特性,一阶不稳定系统的幅相频率特性是一个为（-1，j0）为圆心，0.5为半径的半圆。,非最小相位系统,在s右半平面有极点或零点的系统称为非最小相位系统,2. 幅频特性 及相频特性,3.最小相位系统和非最小相位系统的对数频率特性,因此，这两个系统的幅频特性完全相同。,相频特性,其中,最小相位系统相位变化最小,非最小相位系统,最小相位系统,非最小相位系统的判别方法,延迟环节是一个典型的非最小相位系统,最小相位系统的相位为,非最小系统的相位,当 时，,5-3 开环系统频率特性图的绘制,一、系统开环对数频率
7、特性图（Bode图）,当n个环节串联时,例5-1 绘制图5-24所示系统的开环Bode图,解: (1) 写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式),解: (1)写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式),(2)按照转折频率的大小依次分解成典型环节，比例和积分环节除外。,解:,(3)分别写出每个环节的对数幅频和相频特性 。,(4) 写出整个开环系统对数幅频和相频特性 。,(5) 在半对数坐标下分别绘出单个环节的Bode图。,(6) 叠加得到整个系统的Bode图。,解:, c的确定,1、确定幅相曲线的起点和终点，方法如下：,（）起点：此时 ，除比例、积分和微分环节外，其他环节在起点处幅值为1，
8、相角为0，因此在起点处有：,可得低频段乃氏图：,二、G(s)-Nyquist 图,（1）起点（低频段）：,对于由最小相位环节组成的开环系统,（）终点（高频段）：此时，这时频率特性与分子分母多项式阶次之差有关。分析可得如下结论：,终点处幅值：,终点处相角：,3. 开环幅相特性曲线的变化规律,分子上有时间常数的环节，幅相特性的相位超前， 曲线向逆时针方向变化分母上有时间常数的环节，相位滞后， 幅相特性曲线向顺时针方向变化,令实部等于0，求出 代入虚部，得到与虚轴的交点。,（）乃氏图与虚轴交点的求取：,（）曲线与实轴交点：令虚部为，,2、确定乃氏图与实轴、虚轴交点,求出代入实部，即得到与实轴的交点；
9、,或,例：开环系统的频率特性为 试绘制该系统的极坐标图,解: (1)本系统中n=3,m=0,n-m=3.v=1,(2)确定起点和终点,起点处:相角为-90，幅值为；终点处:相角为-903=-270 ，幅值为0；,例：开环系统的频率特性为 试绘制该系统的极坐标图,解: (3)确定乃氏曲线与实轴、虚轴交点；,曲线与实轴交点：,令 ImG(j)H(j)=0 求出=10代入频率特性的实部得ReG(j10)H(j10)=-0.4，乃氏图与负实轴的交点为(-0.4,j0)。,曲线与虚轴交点：,令ReG(j)H(j)=0，求出=。表明幅相特性曲线只在坐标原点处与虚轴相交。,用MATLAB画出上面例子中的乃氏
10、图,num=10;den=conv(0.2 1 0,0.05 1);nyquist(num,den),虚轴交点附近的放大图,极坐标图的对称性,对称于实轴，因此，画出 的极坐标图后，,例2：已知最小相位系统的对数幅频渐近曲线如图所示。曲线部分是对谐振峰值附近的修正线，试确定系统的传递函数。,解：1）判断系统结构,2）写出开环传函的标准时间常数形式,5-4 控制系统的频域稳定判据,稳定的定义：任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定的充分必要条件：系统的特征根都具
11、有负实部。时域稳定判据：ROUTH判据，赫尔维茨。频域稳定判据：Nyquist判据(简称奈氏判据),奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法；可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法.,F(s)的零点就是系统的闭环极点；F(s)的极点就是系统的开环极点.,利用图解的方法来确定F(s)位于s右半平面的零点，从而得到判别系统稳定性与否的奈氏判据。,分两种情况考虑: 1.开环传递函数中没有s=0的极点。2.开环传递函数中含有s=0的极点。,1.开环传递函数中没有s=0的极点,中各零点和极 点到点 的向量为:,s平面闭合路径,F(s)平面轨迹,辐角原
12、理： 若F(s)在s平面上除了有限个奇点外，它总是解析的，则当动点sl 在s平面上顺时针方向绕不通过任何极点和零点的封闭曲线一周时，则在F(s)平面上也将映射出一条闭合曲线。,若 仅包围F(s)的零点,故 顺时针绕坐标原点一圈。,当 沿路径 顺时针移动一周时，未被 包围的那些零点和极点相应的向量的净相角变化等于零，,被 包围的零点，其相角变化了 。,若 顺时针包围F(s)的1个零点，则 顺时针包围F(s)的原点1圈。,s平面闭合路径,奈氏路径,若 顺时针包围F(s)的Z个零点，则 顺时针包围F(s)的原点Z圈。,若 仅包围F(s)的极点,若 顺时针包围F(s)的P个极点，则 逆时针包围F(s)
13、的原点P圈。,若 顺时针包围F(s)的Z个零点和P个极点，则 顺时针包围F(s)的原点Z-P圈。,N0为顺时针，N=1。如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针包围(-1,j0)点的次数N=P, 则Z=N+P=0,系统稳定。否则系统不稳定。,例1：系统开环传递函数为试用奈氏图判断闭环系统的稳定性.,解:(1)求起点和终点,(2)求与虚轴交点的坐标,当 时，,当 时，,可见，乃氏图不包围（-1，j0）点，系统稳定,num=1;den=conv(8 1,2 1);nyquist(num,den),例2 试绘制如下四阶0型系统的奈氏图，判别其闭环系统的稳定性 式中， 。,解:,当(-1,
14、j0)点位于b点与c点之间，奈氏曲线不包围(-1,j0) ，N=0，故闭环系统稳定（由于P=0）； 增大K；(-1,j0)点可能会位于d点与c点之间，奈氏曲线对(-1,j0)顺时针包围2次，N=2，故闭环系统不稳定（由于P=0）； 减小K，(-1,j0)点可能位于a点与b点之间，N=2，闭环系统仍不稳定； 再减小K，使(-1,j0)点位于a点的左边，闭环则是稳定的。,例3：单位反馈系统开环传递函数其中 ，试用乃氏判据判断该系统稳定时K的取值范围。,解：该开环系统的幅频和相频特性表达式,当 时，,当 时，,2.开环传递函数中含有s=0的极点,奈氏路径就是由-j轴无限小半圆abcj轴和无限大半圆四部分组成。,在无限小半圆上，s可表示为,对应a点,s平面无限小圆上的a点变换到G(s)H(s)平面上为正虚轴上无穷远处的一点。,令 和 ，得,2.对应b点,s平面无限小圆上的b点变换到G(s)H(s)平面上为正实轴上无穷远处的一点。,3.对应c点,s平面无限小圆上的c点变换到G(s)H(s)平面上为负虚轴上无穷远处的一点。,
