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1、2018/1/2,自动控制原理第四章,1,第四章 根轨迹分析法,第一节 根轨迹的基本概念一.根轨迹图 S平面： 复平面(根平面) 根轨迹：指系统开环传递函数中的某一参数由零变化到无穷大时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。,2018/1/2,自动控制原理第四章,2,例 单位负反馈系统的开环传递函数为,解：,当 由零变化到无穷大时，闭环特征根所走的轨迹。,2018/1/2,自动控制原理第四章,3,2018/1/2,自动控制原理第四章,4,二.根轨迹方程,闭环系统特征方程或根轨迹方程,2018/1/2,自动控制原理第四章,5,三.幅值条件方程和相角条件方程,幅值条件:,相角条件:,或:,充要条件,
2、2018/1/2,自动控制原理第四章,6,四.幅值条件和相角条件的应用,例：开环传递函数为 试判断 是否在根轨迹上，若在求出相应的 值。,解：,易验证,故 不在根轨迹上， 在根轨迹上，且根轨迹增益为,2018/1/2,自动控制原理第四章,7,第二节 绘制根轨迹的基本法则一.根轨迹的连续性 连续变化的曲线或直线二.根轨迹的对称性 关于实轴对称三.根轨迹的分支数 分支数=系统的阶数四.根轨迹的起点和终点,2018/1/2,自动控制原理第四章,8,证明：,2018/1/2,自动控制原理第四章,9,五.实轴上的根轨迹 在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。,2018
3、/1/2,自动控制原理第四章,10,六.根轨迹的渐近线,2018/1/2,自动控制原理第四章,11,证明：,对于较远处渐近线上的点有,2018/1/2,自动控制原理第四章,12,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,13,七.根轨迹的分离点和会合点,分离点：根轨迹在实轴上相遇后又分开的点会合点：根轨迹进入实轴相遇的点,分离点或会合点对应于闭环特征方程的二重根 多出现于实轴上 若实轴上相邻开环极点间有根轨迹，则必有分离点 若实轴上相邻开环零点间有根轨迹，则必有会合点 若实轴上相邻开环零极点间有根轨迹，则可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点,2018/1/2,自动控制原
4、理第四章,14,重根法：根轨迹上的分离点、会合点即为特征方程的重根点。,若记,则根轨迹方程为,2018/1/2,自动控制原理第四章,15,极值法： 就实轴部分而言：（1）Kg=0增大时，当Kg取最大值时，进入复平面，此时为分离点。（2）Kg增大时，从复平面进入实轴时Kg取最小值，以后Kg不断增加。,2018/1/2,自动控制原理第四章,16,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,17,八.根轨迹的出射角和入射角,出射角:起始于开环复数极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角,2018/1/2,自动控制原理第四章,18,入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角,2018/
5、1/2,自动控制原理第四章,19,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,20,九.根轨迹与虚轴的交点,令,代入根轨迹方程,令实部和虚部分别为零,解之得到与虚轴的交点，并且可得临界根轨迹增益,2018/1/2,自动控制原理第四章,21,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,22,十.闭环极点的和与积,当,为系统的闭环极点,随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些必向左移动,2018/1/2,自动控制原理第四章,23,十条法则：,1.连续性2.对称性3.分支数4.起点、终点5.实轴上的根轨迹6.渐近线7.分离点、会合点8.出射角、入射角9.虚轴交点10.闭环极
6、点的和与积,计算,2018/1/2,自动控制原理第四章,24,第三节 控制系统根轨迹的绘制一.单回路系统的根轨迹,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,25,2018/1/2,自动控制原理第四章,26,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,27,2018/1/2,自动控制原理第四章,28,例：系统的开环传递函数为,解：开环极点为,渐近线与实轴的交点为,倾角为,与虚轴的交点为,2018/1/2,自动控制原理第四章,29,根轨迹的分离点、会合点：,根轨迹的出射角：,2018/1/2,自动控制原理第四章,30,2018/1/2,自动控制原理第四章,31,圆弧根轨迹：仅有两个极
7、点和一个零点，根轨迹离开实轴必是圆弧,2018/1/2,自动控制原理第四章,32,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,33,二.参量根轨迹(广义根轨迹)除开环增益以外的其它参数变化时对系统的影响首先求出等效单回路开环传递函数,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,34,2018/1/2,自动控制原理第四章,35,例 已知系统的开环传递函数为,试绘制,时系统的根轨迹。,等效的开环传递函数为,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,36,2018/1/2,自动控制原理第四章,37,三.多回路根轨迹,特点：多参量,方法：内环参数取特定值，然后画出系统的根轨迹,（1）绘制
8、局部闭环子系统的根轨迹；（2）固定局部参量值，得到多回路的开环零、极点分布 情况，画出根轨迹；（3）取不同的局部参量值，重复（1）-（2）。,多回路根轨迹是一族曲线，根轨迹族,2018/1/2,自动控制原理第四章,38,四.正反馈回路的根轨迹(零度根轨迹),根轨迹方程为：,幅值条件：,相角条件：,2018/1/2,自动控制原理第四章,39,需要修改的法则,(1)法则5：实轴上根轨迹区间的右侧实轴上，开环零点和极点之和应为偶数；,(3)法则8：根轨迹的出射角和入射角为：,(2)法则6：根轨迹渐近线与正实轴的夹角为：,(4)法则9：根轨迹与虚轴的交点：,2018/1/2,自动控制原理第四章,40,
9、例：已知某正反馈系统的开环传递函数为,试绘制根轨迹。,解：1由于n=4,m=0,故根轨迹有四条分支；,2系统有四个开环极点,无零点，四条分支均趋于无穷远处；,3实轴上的根轨迹区间为,4根轨迹的分离点,得分离点为-2.225；,2018/1/2,自动控制原理第四章,41,5渐近线与实轴的交点和夹角为,6根轨迹与虚轴的交点，系统的闭环特征方程为,令,解之得：,(不符合题意),根轨迹与虚轴无交点,2018/1/2,自动控制原理第四章,42,大致根轨迹图像为,2018/1/2,自动控制原理第四章,43,五.延迟系统的根轨迹,延迟系统的开环传递函数一般形式为：,幅值条件：,相角条件：,特点：根轨迹无穷多
10、条,2018/1/2,自动控制原理第四章,44,第四节 求取闭环系统零、极点的方法一.求取闭环系统极点的方法,例：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,45,2018/1/2,自动控制原理第四章,46,2018/1/2,自动控制原理第四章,47,系统为I型系统，其静态误差系数为：,2018/1/2,自动控制原理第四章,48,二.求取闭环系统零点的方法,闭环系统零点一般为前馈传递函数的零点和反馈传递函数的极点。,假设前馈传递函数为：,反馈传递函数为：,系统闭环传递函数为：,2018/1/2,自动控制原理第四章,49,三.闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,2018/1/2,自动控制原理
11、第四章,50,第五节 增加开环零、极点对根轨迹的影响一.增加开环零点对根轨迹的影响（1）改变实轴上的根轨迹；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）开环零点与附近的开环极点构成开环偶极子；（4）根轨迹曲线向左偏移，改善了系统的动态性能，所加零点越靠近虚轴，影响越大。二.增加开环极点对根轨迹的影响（1）改变实轴上的根轨迹；,2018/1/2,自动控制原理第四章,51,（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）改变根轨迹的分支数；（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能，所增加的极点越靠近虚轴，影响越大。,2018/1/2,自动控制原理第四章,52,三.增加开环偶极子对根轨迹的影响开
12、环偶极子：一对距离很近的开环零点、极点，他们的距离比他们的模值小一个数量级。作用：（1）对离它们较远的根轨迹形状以及根轨迹增益没有影响；（2）若位于s平面的原点附近，则会显著提高稳态误差系数，提高系统的静态性能。,2018/1/2,自动控制原理第四章,53,若增加的开环偶极子为,，则加入开环偶极子后,若极点比零点更靠近原点，则开环放大系数增大,倍。,2018/1/2,自动控制原理第四章,54,第六节 控制系统的根轨迹法分析举例,例1：,解：,2018/1/2,自动控制原理第四章,55,2018/1/2,自动控制原理第四章,56,例2 随动系统如图所示，试分析参变量 对系统性能的影响。计算 时系
13、统的性能指标对系统性能的影响。计算系统的性能指标 和 。,2018/1/2,自动控制原理第四章,57,解：已知系统的开环传递函数为,则，系统的闭环传递函数为,绘制系统的根轨迹可得：,2018/1/2,自动控制原理第四章,58,当系统的参变量为 时，,（3）若k1, 则系统瞬态响应是振荡的,例如若k5,则系统的阻尼比 ，系统将出现严重超调。,根轨迹图分析：,（1）在任意k值下，系统是稳定的；,（2）若k1，则系统瞬态响应是非振荡的；,2018/1/2,自动控制原理第四章,59,此时，极点为 ，闭环传递函数为,，,计算得：,从而有：,2018/1/2,自动控制原理第四章,60,试画出以 为参变量的
14、根轨迹图，并求出使阻尼比为0.5时 的值。,例3：已知系统的特征方程为,解：由特征方程可得,即：,其中,计算根轨迹的渐近线可得,2018/1/2,自动控制原理第四章,61,根据,解得分离点为,求根轨迹与虚轴的交点，将 代入特征方程得,即有,解的,2018/1/2,自动控制原理第四章,62,则系统的根轨迹图为,2018/1/2,自动控制原理第四章,63,由于 可得,由相角条件，结合根轨迹图得,则,2018/1/2,自动控制原理第四章,64,因此，OCD为直角三角形，OD=2, 则OC=1，OA=0.5，AC=0.866。,C点坐标为 由幅值条件可知,。,2018/1/2,自动控制原理第四章,65,作业,P187:4-1(a),(d),(g)4-2(2)(4)4-3(b),
