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1、几何概型典例剖析一、几何概型的基本特性解决几何概型的求概率间题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多，(2)每个结果的出现是等可能的事件A 可以理解为区域 的某一子区域，事件 A 的概率只与区域 A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关事件 A 若满足几何概型，则事件 A 的概率计算公式是：积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件）（P.与古典概率一样，几何概率也具有非负性（对任意事件 A，
2、有 0P（A）1） 、规范性（必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0）和有限可加性（当事件 A1、A 2 、A n互斥时，P（A 1+A2 +An）= P（A 1）+P（A 2）+P（A n） 另外几何概率还具有完全可加性，即当事件 A1、A 2 、A 3 、互斥时，则 11iiiP）（）（.值得注意的是：如果随机事件所在区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为 0，所以其出现的概率为 0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则其出现的概率为 1，但它不是必然事件二、几何概型的应用2.1 与(时间)长度有关的几何概型例 1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的
3、谈话，发现 30min 长的磁带上，从开始 30s 处起，有 l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在 30s 到 40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在 0 到 40s 之间时全部被擦掉，即在 Os 到 40s 之间，也即 Omin 到 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而32Omin 到 30min 之间的
4、时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件解析: 设事件 A按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉” ，事件 A 发生就是在 Omin 到 min 时间段内按错键，所以32点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件 A 对应的区域是 Omin 到 min 的32时间段,而不是 min 到 min 的时间段.2132.2 与面积有关的几何概型例 2射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心” ，奥运会的比赛靶面直径是 12
5、2cm,靶心直径12.2cm，运动员在 70 米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解解：记“射中黄心”为事件 B,由于中靶点随机地落在面积为 122 2cm2的大41圆内，而当中靶点满在面积为 12.2 2cm2的黄心时，事件 B 发生，于是事件 B 发41生的概率:答：“射中靶心”的概率是 0.01.点评: 在几何区域 D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件A,则事件 A 发生的概率: 的 度 量的 度 量dAP)(
6、.2.3 与体积有关的几何概型例 3.在 1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出 10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这 1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得 10mL 种子可以看作区域 d,所有种子可视为区域 D.解：取出 10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为 A，则 P（A）=.10所 有 种 子 的 体 积取 出 种 子 的 体 积点评: 本题事件 A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定.2.4 创新应用型几何概型例 4. （会面问题）热恋中的甲、乙两人约定在 7 时到 8 时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率解析：以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x，y）的所有可能结果是边长为60 的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是P（A）= 1670452S几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化O xy60601515
