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1、1,A不同特征值所对应的特征向量线性无关.,若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量.,属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关.,复习上讲主要内容,实对称阵不同特征值的实特征向量必正交.,实对称阵的ri重特征值i一定有ri个线性无关的实特征向量.,2,本节主要内容,相似矩阵的概念方阵相似对角化的条件与方法几何重数与代数重数实对称矩阵正交相似对角化的方法,7.2 相似矩阵,3,设A,B是两个n阶方阵,如果存在可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,则称A与B相似, 记作AB. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵.,7.2.1 相似矩阵的概念,1 定义,例如,T-1
2、ET =E,4,即相似关系满足:,(1) 自反性:AA;(2) 对称性:若AB, 则BA;(3) 传递性:若AB,BC,则AC.,矩阵的相似关系是 上的一种等价关系,所以彼此相似的矩阵构成一个等价类,最简单的代表元就是对角阵.,5,2 相似矩阵的特征多项式,定理7.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即,证,因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使,T-1AT =B,6,推论,若n阶方阵A与对角阵,相似,结论成立.,7,3 相似矩阵有5同,(4) 迹同:,(1) 特征多项式同:,(2) 特征值同:,(3) 行列式同:,(5) 秩同:,如果A, B是两个n阶方阵, AB.则有,但逆命题不成立即
3、特征值同但不相似,阵,(2)的反例如下:,8,(1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若AB,则A-1B-1, B*A*,B*=T-1A*T . (2) 若AB, 则Am Bm, 其中m是正整数.(3) 若AB, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)f (B),4 相似矩阵的性质,(5) 若AB,则对常数t有,(4) 若AB,则AT BT .,9,与,相似,解,由|5E A|=5-5x=0,x = 1,tr(A) = tr(),y = -1.,例1,求 x , y .,两矩阵相似,等价,5 矩阵的相似与等价的关系,显然A有特征值 5,-5.,10,7.2.2 相似对角化的条
4、件及方法,1 定义,若A与对角阵相似,称A可以相似对角化.,2 相似对角化的条件,A有n个线性无关的特征向量.,A的n个线性无关的特征向量,且的主对角线上元素是与其对应的特征值.,11,证,设A与对角阵相似,则可逆阵T, 使,所以有 AT = T,用T1, T2, Tn表示T 的n个列向量, 即,T=(T1, T2, Tn),(注意:证明过程给出相似对角化的方法),12,即 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)=,等式两边的列向量应当对应相等, 所以:,由T可逆知, T1, Tn线性无关,故是A的,n个线性无关的特征向量.,13,设T1,T2,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi
5、=iTi, i=1,2,n如果令 T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2,ATn) =(1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag(1,2, , n) =Tdiag(1, 2, , n),T-1AT,14,A可相似对角化.,若A有n个互异特征值,例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的 互异特征值只有1个( n重 ).,属于A的不同特征值的特征向量线性无关,问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个 互异特征值?,推论1,15,7.2.3 几何重数与代数重数,几何重数:矩阵A的每个特征值i的特征子 空间 Vi的维数为i的几何重数. (
6、即 (iE-A)X=0基础解系含向量的个数).代数重数:(i在特征方程中的重根数).,A的特征值的几何重数代数重数.,定理7.4,注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和,每个特征值几何重数=代数重数时.,复矩阵A可相似对角化,=n,所以有,16,解,x = y.,R(E A)=1,可相似对角化,求x , y满足的条件.,例2,R(3E A)=2,特征值为1，1，3.,17,设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量,求A与A9 .,解 设,则,经验证T1,T2 , T3线性无关, A可相似对角化.,例3,18,7.3 实对称阵的的正交相似对角化,19,7.3.1 实对称阵的特
7、征值与特征向量,实对称阵的性质:,性质1 实对称阵的特征值都是实数.,性质2 实对称阵对应于不同特征值的实 特征向量必正交.,证,设A是n阶实对称矩阵, 是A的的特征值,且,A= , A2= 2 2,往证1T2= 0.,11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2 (1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0.,20,7.3.2 实对称阵的正交相似对角化,实对称矩阵可以正交相似对角化.,其中 是A的特征值.,证 A为n阶实对称阵, 有,定理7.6,即:若A为n阶实对称阵, 则正交阵P, 使得,(证明过程给出方法),21,不同特
8、征值 1 2 s,代数重数 r1 r2 rs,几何重数 r1 r2 rs,无关特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs,标准正交化,标准正交特征向量,则,为正交阵,令,22,推论 实对称阵的任一特征值的 代数重数=几何重数.,即方程组,的基础解系恰好含有ri个向量.,23,设三阶实对称阵A 的特征值为-1,1,1, -1所对应的特征向量为(0,1,1)T .求1对应的特征向量.,例1,X= k(1,0,0)T +l (0,-1,1)T,解,设 X =(x1,x2,x3 ) T,k ,l是不全为零的任意常数.,24,解,例2,设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,2,2对应的特
9、征向量为(1,1,0)T (0,1,1)T .求A的属于1的实单位特征向量.,设 X =(x1,x2,x3 ) T,25,或,所以得,例3 设,求正交阵 使 为对角阵 .,解,特征值为,得基础解系,正交化,单位化,28,得基础解系,单位化,故,为正交阵,diag(2, 2, -7),29,已知矩阵A是三阶实对称阵, 它的特征值分别是 1, 1, 2, 且属于2 的特征向量是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=?,解 A是三阶实对称阵, 正交相似于对角阵 diag(1, 1, 2), 属于特征值1的特征向量与 属于2的特征向量 ( 1, 0, 1, )T正交, 由此得 到属于1的特征向量为(0
10、,1,0)T, (1,0,-1)T, 单位化得到相应的正交矩阵:,例4,30,由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.,31,例5,设n阶实对称矩阵A的特征值都,大于零, 试证,证,因为A是实对称阵,所以存在正交阵P ,使,32,预 习习 题 六,(-) Bye!,33,3. A可对角化,A每个特征值的几何重数,=代数重数.,总 结(A为方阵),4.实矩阵在实数域内对角化,首先特征值都是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数.,5.实对称阵一定可以正交相似对角化,34,(1) 特征多项式, (2) 特征值,(1) A的k次幂, (2),(4)已知特征值,特征向量, 反求矩阵A.,(3)
11、判断矩阵相似,(若A ,B ,则AB.),(A可相似对角化).,2.可以简化方阵A的某些计算如求,A相似与对角阵的应用：,1.有5同,所以易求,(3)行列式, (4) 迹, (5) 秩.,35,设,求正交阵P,使得PTAP成对角阵.,解 (1),例6,36,求得基础解系:,37,先将其正交化:,38,再单位化:,39,将 4 代入 (E, 得,解得基础解系:,单位化:,40,(3) 令,则P是正交阵,且,41,若给定n阶方阵A,直接计算 往往比较困难, 如果存在可逆矩阵T使得T-1AT= 为对角形,那 的计算就能转化为 的计算. 所以将矩阵化为对角形能简化方阵A的某些计算,也能给理论研究带来方便.,问题的提出:,
