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1、4.3向量的极大线性无关组,设向量组 ,其中至少有一个向量非零,则该向量组必有部分组为线性无关,也必定有一个部分组为线性无关且含有最多个数的向量。即 有一个部分组 ，满足（1） 线性无关；（2）若 中还有向量不在该部分,组中，则任取一个不在该部分组中的 ，即必有 线性相关。,这样的部分组，称为该向量组的极 大线性无关组。问题1：一个向量组的极大线性无关组 是否唯一？ 2：若极大线性无关组不唯一，则 彼此有何关系？,进一步研究向量组线性无关、线性 相关的性质。,定理：向量组 线性相关 中至少有一个向量是其余r-1个向量的线性组合。,证明： 设 线性相关，则有,不全为0，使,不访设 则,中有某个
2、可由其余 r-1个向量线性表示，即有数： ，使得,即 线性相关。,设,则,推论： 线性无关 中每一个向量都不能由其余 r-1个向量线性表示。,定理：若向量组 线性无关， 而向量组 线性相关，则 一定可由 线性表示，且表示方式唯一。,此时必有,而 线性无关，则 必全为0，因而 全部为0。矛盾。,则,证明： 线性相关，则有不全为 0 的数 使,因为否则就有,假设 有两种表示法由 线性 表示，即,则,由 线性无关，则,即,可由,线性表示,则,定理：设向量组 中每一个向 量都可由向量组 线性 表示，若 ，则 线 性相关。,证明：设,又,则,设,把上式看成是 为变量的齐次线性方程组，其系数矩阵的秩小于等
3、于 ，则必有非零解。,即,即有不全为零的数 使因此 线性相关。,推论：设 向量组 中每个向量都可由 线性表示，且 线性无关，则 。,定义：若向量组 中每个向量可由向量组 线性表示，则称向量组 可由向量组 线性表示。若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。,“等价”具有以下性质：（1）自反性：任一向量组与自身等价（2）对称性：若向量组（A）与向量组 （B）等价，则（B）也与（A）等价；,（）传递性：若向量组（A）与向量 组（B）等价，（B）又与向量组 （C） 等价，则（A）与（C）等价。,利用前面定理与推论，立即可得：定理:任意两个等价的线性无关的向量组 含有相同的向量个数。,回头看前面的问题,例：设有向量组,可见，或或均为极大线性无关组。因此极大线性无关组不唯一。,现在来看问题。,首先，任意向量组与其极大线性无关组等价。,则一个向量组的两个极大线性无关组相互等价。,进一步：一个向量组的两个不同极大线 性无关组包含的向量个数相同。,向量组的极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩。,求向量组 的极大线性无关组与秩。,例：设,
