函数的图象与性质

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1、_ 。： 中学数学教学鍪：芍 f j w z ) 鬣 一 I-叶 一一 一一 一 一一 一 一 j 一 2豹 4 镣3甍魏0l 、 | 所以 的取值范围是(一。，+cx3)。 教学提示：(1)恒成立问题是高考考查的一个重 点，灵活运用转化的数学思想是解决这类问题的关 键。本例是一道恒成立问题的基本题，变式丰富，通 过本题不同变式题目的探寻，积累数学解题活动的经 验，提高解题能力。 (2)对于本例的变式1，可引导学生思考其他的解 法。例如，参变分离或者直接转化为求最值，利用一 元二次函数的闭区间求最值进行讨论。本例的变式2 是变换主元的方法的一种应用，可以引导学生归纳 “已知的是主元，待求量做参

2、数”的结论。 (3)引导学生完成解后反思：恒成立问题一般转 化为最值问题，通常需要考虑 、 、 、 。(变量符号、函数类型、函数性 质、图形特征) 盈数的回 匈馅固 何豪明 应水平(浙江省衢州高级中学何数思维工作室) 金雪东(浙江省衢州第一中学) 徐存旭(浙江省杭州第二中学) 林益帆(浙江省江山中学) 函数的图象与性质是认识和把握函数的两个重要方 面，也是高考考查的重点内容。图象可以从总体上直 观地刻画函数的性质；函数的性质则从不同的角度刻 画函数，既有总体的，也有局部的。因为涉及图象的 问题比较综合，所以高考在这一部分内容的考查上有 一定的难度。经过第一轮复习，学生基本掌握了基本 初等函数的

3、图象和性质，对涉及函数图象与性质的问 题也积累了基本的解题思路和方法。因此，第二轮复 习的重点应该把握好三个方面的内容(总目标)：一是 使学生巩固函数的图象与性质的基本知识；二是利用 掌握的函数的图象与性质的知识解决一些常见的问 题；三是利用函数的图象与性质的有关知识解决综合 问题。为此，本专题通过完成六个分目标：图象变换、 图式适配、基本性质(定义域、值域和奇偶性等)、零点 和根(函数与方程的关联)、核心性质(单调性与不等 式的关联，包括不等式恒成立、比较大小等)、综合应 用，从而实现总目标。 教学目标1：在理解函数图象的平移变换、对称变 一! 誉 一 换、翻折变换等的基础上，掌握函数图象变

4、换的本 质一图象的组成单位“点”的变换问题。 例1 已知函数yf( )的图象如 图1，则y一_厂(1一z)的图象为下列四个 图中的( )。 图1 A B C D 解法1：因为函数y一_厂( )的图象经过原点，即 厂(O)一0，所以函数Y一厂(1一 )也满足_厂(0)一0，即 图象经过点(1，0)，排除B、D；因为_厂(1)O，所以函数 一 (1 )也满足厂(1)0，即当z一0时， 一-厂(1) 0，排除C，故选A。 解法2：因为函数Y一 (一 )的图象与函数y= _厂(z)的图象关于Y轴对称，又因为_厂(1-x)一( ( 一1)，所以 一-厂(1-x)的图象可以由Y一-厂(一 )的 图象向右平

5、移1个单位得到，故选A。 解法3：因为函数yf( 一1)的图象可由Y一 ，( )的图象向右平移1个单位得到，又因为y一 ，(1 -x)一-厂(一(z一1)，而y一(一( 1)的图象亏y 一厂( 一1)的图象关于直线 一1对称，故选A。 教学提示：(1)高考考查函数图象的题目，往往出 现在选择题中。因为此类问题的求解方法灵活多样， 有利于考查学生的能力，所以课堂教学要加强一题多 解的训练，提高学生的解题能力。 (2)本题有多种解题法，可以先练习，后反思总 结。解法1的筛选法是求解选择题的常用方法，也是 揭示函数图象变换本质的解题方法。可以补充如下 例题： (第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一试

6、题) 已知函数h( )的图象与g( )一log 的图象关=于二直 线Y=z对称，并且函数_， (z)的图象与h( )的图 象关于直线 一1对称，求函数_厂( )的表达式。 解：设P( ， )为函数 (5C)图象上的任意一点， 则它关于直线z一的对称点P。(2一 ，Y)在函数 h(z)的图象上，而P (2一z， )关于直线Y一一 的对 称点P 2(一 ， 一2)在函数g( )一logz 的图象上， 即z一2一log2(一 )，得到_厂( )一一2 ( R) 该题也可先作对称变换再作平移变换解答，也可 先作平移变换再作对称变换解答，都属直接法。但是 这两种变换是学生学习的难点，如何突破?需明确下

7、列四个问题： 羁 jl| 一一 r ， 数学张 参考 0 = 一 问题1：函数Y一厂(a2c+6)的图象可以由函数 f(ax)(abO)的图象经过怎样的变换而得到(其特 征是自变量的系数相同)? 函数 f(axb)的图象可以由函数Y：=f(ax) ( be=O)的图象向右(旦0)平移 、“ 、“ l 厶l J J个单位得到。此结论可以由两种途径得到：一是 l 61I 当自变量z的系数不为1时，可先分离自变量的系 数，再由“左加右减”的原则得到；二是通过图象的组 成单位“点”的变换得到，即在Y：厂(ax)的图象上选 取一个有代表性的点，如P(0，f(0)，在函数y一 厶 f(axb)中，令ax+

8、b=0，得 =一 ，则在Yf(ax L 、 +6)的图象上就选定了点P (一 ，-厂(0)，然后根据 、 “ 这两个点的关系得到平移的方法。相比较，第二种途 径学生更易接受。 问题2：函数 f(a+ )(n0)的图象与函数 f(a-x)(n0)的图象之间存在怎样的关系(其特 征是自变量系数互为相反数)? 函数 f(xa)(n0)的图象与函数 f(a -x)(aO)的图象之间的关系，通过换元法(令tz ma)可以转化为函数yf(t)的图象与函数y一 _厂(一)的图象之间的关系(关于直线=0对称)，说明 函数 一厂(za)(“0)与函数Yf(az)(口0) 的图象关于直线za对称。 问题3：突破难

9、点：“若函数 一厂(-z)对任意的z R，都有-厂( 一口)一f(az)，则函数的图象关于y 轴对称”和“函数y一-厂(za)(nO)的图象与函数Y f(a-x)(nO)的图象关于直线 a对称”。 前者可以利用特殊函数法，如-厂( )一 。；后者可 以利用换元法(见问题2)，还可以利用图象的组成单 位“点”来处理，在函数yf( a)的图象上取点 A(z+n，厂(-z)，在函数y：f(nz)的图象上取点 B(一 +a，-厂(z)，因为A、B两点关于直线z：a对 称，所以函数Y=f(xa)(nO)的图象与函数 f(a-x)(口O)的图象关于直线za对称。这是函 数图象变换的本质：函数图象的变换问题

10、就是函数图 象的组成单位“点”的变换问题。 问题4：由函数Y=厂(z)的图象怎样得到函数 一_厂(1 z)和 l，(z)l的图象? 函数y一厂(z 1)为偶函数，图象关于Y轴对称， 且当z0时，其图象与函数 一-厂(z)的图象相同；函 数 一_厂(z)的图象是将函数y=厂(z)在 轴下方 的图象(如果有)关于 轴对称上去，在 轴上和oZ轴 上方的函数图象保持不变。这个结论可以和学生一 起叙述，进一步理解翻折变换的法则(事实上是对称 变换)。 变式1 (第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高 二试题)设曲线c ： logzlz按向量a一(1，一2)平移 后得到曲线C：，求与C：关于直线z+y一0对称

11、的曲 线的方程。 答案： 一一2 一1。 变式2(原创)将函数 一-厂( )的图象向左平移 1个单位，横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍，然后 作关于直线y 对称的函数的图象。求最后所得图 象对应的函数表达式。 答案：z一2f(y+1)。 教学目标2：图式适配，熟练掌握由函数的图象得 到函数的解析式，或者由函数的解析式得到函数的 图象。 例2 (2013年高考数学四川卷理科第7题)函 3 数 一 的图象大致是( )。 A B C D 解：函数由两个基本初等函数y 一z。和Y。一3 1相除得到，显然不能由简单的基本初等函数的图 3 象变换得到，考虑借助函数 一 的性质甄别出其 o 1 3 图象。因

12、为函数 一 的定义域不包含0，所以排 0 上 除A；因为当zO，排除B；分析C和D中函数图象的区别，注意到 当z一十C3时，函数值Y的变化趋势，由不同增长的函 数模型知道，当z一+Cx。时，函数 一3 一1的增长比 函数Y=：z。要快得多，故其值接近0。选C。 教学提示：(1)可以借助此问题，复习回顾基本初 等函数的图象和定义域、值域、奇偶性、单调性等基础 知识。 (2)对于这类由解析式到函数图象的“图式适配” 问题，需教会学生分析函数图象与性质的角度和方 法。如本题求解过程中分析函数的定义域、值域、函 数值的变化趋势等，有时，也可以借助函数在特殊点 的值或函数的奇偶性、对称性和单调性等性质。

13、 j 、雄、 z孰 j雌舞 扎 艟t t fn (3)作为问题变式，可以让学生尝试绘制函数 一 和函数 一高的大致图象。 变式 (2000年高考数学全国卷理科第5题)函 数Y一-XCOS z的部分图象是( )。 A B C 上) 解：根据两个基本初等函数y 一 和Y ： COS 的奇偶性，得到函数Y一一XCOS 为奇函数，其 图象关于原点对称，排除A和c。注意到B和D的区 别，可以考虑当,27比0稍大时的函数值为负，故选D。 说明：由函数的图象得到函数的解析式，往往和 导数知识相关联，本专题不作研究。 教学目标3：应用函数的概念求解函数的定义域、 值域和最值等问题，深化函数概念。并能借助函数的

14、 奇偶性与对称性等性质，结合图象求解相关问题，掌 握函数的基本性质之间的关系。 例3 已知函数Y一-厂( +1)的定义域和值域分 别为1，2和3，4，则函数yf(2x一1)的定义域和 值域分别为 。 解：依题意，函数yf(z+1)的定义域为1，2， 则自变量 1，2，所以 +12，3。对于函数Y 广0 一(2x一1)，则有2 一12，3，所以zJ昔，2 1， L厶 J 广0 l1函数y一 (2x-1)的定义域为j昔，2 j。 L厶 由于函数Y=f( +1)和函数 一 (2x一1)的对 应法则不变，且前者的75十1和后者的2x一1的范围 一致，故两个函数的值域相同，即函数Y=_厂(2x一1) 的

15、值域也为3，4。 教学提示：(1)通过该问题，让学生理解函数(复 合函数)的自变量和因变量，并结合函数描点法绘图 中的横坐标来自变量z，理解函数Y一厂( +1)的定义 域指的是变量 的取值范围。通过两个值域之间的 关系，让学生理解函数的定义域和对应法则，达到深 化函数概念的目的。 (2)定义域和值域从总体上刻画了函数图象所在 的大致区域和边界，对把握函数的其他性质具有基础 性的作用。这一点可以借助例3进行讲解。 (3)函数的值域往往和函数的最值等问题相关 联，有时借助函数的奇偶性、对称性和周期性求解有 其方便之处。可以应用下面的两个变式进行拓展。 一一 r 一 ， 厂 sin(Iz+ )+2 一+z 变式1 已知函数厂(z)一 乏 一 的最大值为M，最小值为N，则( )。 AMN一4 BM+N一4 CMN一2 DM+N一2 解：注意到分子中 sin( +)展开后和分母有 相同的结构，考虑分离常数(这是处理分式型函数的 sin(z+ 1+2x +z 常用方法)。 f(z)一 一 军 一1+墨尝，显然 一 2z +cos 。 2 +cos 业“ 粤是由奇函数 sin z+ 和偶函数 一2 厶 _COS +COS 37相除得到，“为奇函数，则由对称性知 Eu(x)=一U(z)，故f(x)的最大值和最小值 之和为2。选D。 点评：此题在求解