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1、 i 蘩 l 蘸 陋问题的函数刻画 漆光宗 问题是数学的心脏让我们先看一个实 际问题： 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车， 利润(单位：万元)分别为L 一506x一 015x。和L。一2x，其中z为销售量(单位： 辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则 能获得的最大利润为 本题牵涉到的量有很多：甲地销售利润 L ，乙地销售利润_L ，甲、乙两地的销售量等 等，注意到两地共销售15辆车，因此可设甲地 销售-z辆，则乙地销售(15一z)辆，z一旦确 定，则总利润S就相应确定，每一个z对应且 只对应着唯一的总利润5，因此，总利润S可 以表示为关于z的函数： S=506x一015x +2(15-x)一
2、 一015x +306x+30(z0) 所以，当-z一1O时，S 一456(万元) 这一把实际问题转化为数学中的函数 问题的过程，我们称之为建立函数模型，简 称函数建模函数模型是应用最广泛的数学 模型之一，它在实际生活中的应用非常的广 泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不 同的变化规律一旦实际问题中的变量与变 量之间的关系被认定为是函数关系就可以 将实际问题转化为数学问题，建立一个函数 模型，通过研究函数的性质，从而更好地去 把握问题，分析问题，使实际问题得以解决 那么，如何顺利、合理地建立函数模型解决 问题呢? 一、前提理顺数量关系 应用题所用的数学语言多为“文字语 言、符号语言、图形语言
3、”并用，往往篇幅较 长，立意有创新脱俗之感觉要认真阅读理 解材料，读懂题目所叙述的实际问题的意 义，明确其中的数学本质，注意题目所约定 的临时性定义通过分析、画图、列表等方 法，快速理顺数量关系和数据的单位是函数 建模的前提 例1 一家报刊推销员从报社买进报纸 的价格是每份020元，卖出的价格是每份 030元，卖不完的还可以以每份008元的 价格退回报社在一个月(以3O天计算)有 2O天每天可卖出400份，其余10天只能卖 250份，但每天从报社买进报纸的份数都相 同，问应该从报社买多少份才能使每月所获 得的利润最大?并计算每月最多能赚多 少钱? 解析 函数建模的前提是理顺题中数 量关系，对于
4、有些数量关系较复杂、较模糊 的问题，可以借助画图和列表来理清它本 题不妨设每天从报社买进报纸的份数为513 E25o，400，则相关数据可以列表如下： 数量(份) 价格(元) 金额(元) 买进 30x O20 6x 卖出 2Ox+10250 030 6x+750 退回 10(z一250) OO8 08x一2O0 罐鼢 乏 z c 最 z 咖站 懒 llll 奠基 反思i、归纳 7 _ 1iiii!i iiiii !iiil ： 0 则每月获利润 一(6z+750)+(08x 爱 goo)一6 一08z+55O，当然还需要注意 羞蓦 鬻鬻 函数的定义域：xE EB5o，400因为 在z E25o
5、，4O0上是一次函数且单调递增，所 以，当z一400份时， 取得最大值870元 答：每天从报社买进400份时，每月获 的利润最大，最大利润为870元 ， 二、关键构造目标函数 在一个变化过程中又往往有多个变量， 应选取哪个变量作为函数的自变量，这直接 影响到解决问题的方法与速度因此，在构 造目标函数时，选择合适的自变量也是一个 重要的环节，之后，抓住某些量之间的相等 关系将问题的目标表示为这个自变量的函 数是函数建模的关键 例2 某商人将进货单价为8元的某种 商品按10元一个销售时，每天可卖出100 个，现在他采用提高售价，减少进货量的办 法增加利润，已知这种商品销售单价每涨l 元，销售量就减
6、少1O个，问他将售价每个定 为多少元时，才能使每天所赚的利润最大? 并求出最大值 解析一 本题若选取每个商品的售价 为自变量z元，利润为Y元，则每天的销售 量为10010(z一10)，销售总额为x-lO0 10(z一10)元，进货总额为810010(z一 10)元，显然由题意知，10010( lO)0 且z10，zN ，即有10z0，即 10， 则 一(10+ )(1001Ox)一8(1001Ox) 一(2+z)(1OO一1Ox) 一一10(z一4) +360(0z10) 当 一4时，y取得最大值，此时销售单 价应为14元，最大利润为360元 点评 本题在理顺了每个商品的售 价、提价额、每天的
7、销售量、销售总额、进货 总额、利润等数量关系的前提下，关键抓住 了“利润一销售总额一进货总额”这一相等 关系列出等式从而将变量Y表示为 的函 数，在变量的选取上有两种方案：方案一是 把提价后的每个商品的售价作为自变量，方 案二是把每个商品的提价额作为自变量显 然方案二优于方案一，运算也相对简单 三、解模利用函数性质 解模的过程就是根据实际问题所需要 解决的目标及函数式的结构特点正确选择 函数知识，如通过研究函数的单调性，求函 数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值 等，求得函数模型的解，并还原为实际问题 的解 例3 据气象中心观察和预测：发生于 M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动 速度v
8、(kmh)与时间 (h)的函数图象如图1 所示，过线段0C上一点丁(t，0)作横轴的垂 线Z，梯形0lABC在直线Z左侧部分的面积 即为时间t(h)内沙尘暴所经过的路程 (kin)： 图1 。0蠢蠹 。 (1)当一4时，求5的值； (2)将S随t变化的规律用数学关系式 表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距 M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵 袭到N城如果会在沙尘暴发生后多长时 间它将侵袭到N城?如果不会，请说明 理由 解析 (1)学会识图，t一4时， 是多 少?结合其一次函数 一3t，0 10，知 一3 X 412，则s一 41224做完题 再思考一下，我们所求的s在图象上有
9、何几 何意义? (2)利用公式的同时，要注意分类讨论， 因为当t变化时，函数图象并不是统一的 当 410 It,s一 3t一 当102o时，s一 10 x 30+30(t 1O)一30 一150。 当2035时，s一 x1030+10X 30+30(t-20)一 ( 一20)2(t-20)一 t +70t一550 综上可知： z， E Eo，lo3， 1 30 一150， E(10，2o， lt +70t-550，tE(20，353 (3)对于综合性的问题，我们要学会将 其转化为数学模型，即何为“这场沙尘暴是 否会侵袭到N城”，建模后的问题就是“在限 定时间内，路程5是否会超过650 km”
10、0 由于tEo，10时，5一 10。一150 厶 650； tE(10，203时，S一3020150450 650； 而当tE(20，35时，令一t +70t一550 650 解得t 一30，t240，又因为2035， 所以t一30，沙尘暴发生30 h后将侵袭到 N城 总之，实际生活中到处都存在着函数关 系，很多问题都可以用函数的有关知识，建 立函数模型来解决函数建模应着重注意以 下几点： 1阅读理解、整理数据：通过分析、画 图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的 关系，数据的单位等等； 2建立函数模型：关键是正确选择自变 量，将问题的目标表示为这个变量的函数， 建立函数模型的过程主要是抓住某些量之 间的相等关系列出函数式，不要忘记考查函 数的定义域； 3求解函数模型：主要是计算函数的特 殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最 大(小)值等，注意发挥函数图象的作用； 4还原评价：应用问题不是单纯的数学 问题，既要符合数学学科又要符合实际背 景，因此解出的结果要代人原问题进行检验 后再作出结论 m爵蛐 删#加
