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1、蛰 Forum 麓鞠ITeachIng and Reseafch 函数与方程思想在高中数学解题中的应用 【贵州省遵义市正安县第一中学，贵州遵义563400】 数 姜 篓套 耄，霆 襄 毒篙 分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范 寺I口J咫；刀任 僻 竹 咫 州。姒 ffL是函数和方程思想?简单地说，就是学会用 函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对 数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和 方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时 要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看 成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个 代数式看成了函数，
2、把一个或几个字母看成了变量， 那么这个两数有什么性质，如果一个问题从表面上看 不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题， 是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如 果是一个方程，那么这个方程的根(例如根的虚实，正 负，范隔等)有什么要求? 一、把字母看作变量或把代数式看作函数 【例1】 已知两条曲线：椭网C： 1和 圆C ： 2+(v+1) ：r (r0)，若两条曲线没有公共 点，求r的取值范闱 ， 一一 、 ， 一 e 、 一 -， 【分析及解】 一般的解法是：从C和Cz的方 程中?肖去一个未知数，比如消去x得到一个关于Y的 方程一y +2y+10一r =0， 因为两条曲线没有公共
3、点，所以方程没有实数 根，即判别式小于零，即 =44(一)(10一 或r or 54 5 【例2 1 (I)若关于x的不等式l +1 I+ l 一1m对所有 R都成立，求m的取值范围 (II)若关于x的不等式l +1 l+I 一1 I1 (1)若关于x的不等式1 +1 1+ 一1 m对 所有 ER都成立，则 。 ( )m，又 ( )：2，则m 2 【例31 已知数列a 各项都是正数，且满足n。 ：1， ：。 (4一rz )， N证明口 0，所以r上+l ，由以_J二有0 -厂 (6)就可以了，同样，若函数_厂( )在区间。，6】和 c，d】上是减函数，在并区间0，6】uc，d】上不一定 是减函
4、数，但是，只要增加一个条件f(c)0时，F ( )0，因此F( )在(0，+。)上 为增函数 从而，当 =。时，F( )有极小值F(。)因为F (。)=0，bo，所以F(b)0， I 即00时，G ( )0，所以G(b)0， Bg(0) g(b)一2g( 旦)(6一n)ln2 厶 规律技巧提炼： 1函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法 处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种 思维方式，是很重要的数学思想 (1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约 的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相 互制约关系，最后解决问题，这就是雨数思想应用函 数思想解题，确立变量之间的函数关系是一
5、关键步 骤，大体可分为下面两个步骤：根据题意建立变量 之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题； 根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问 题 (2)方程思想：在某变化过程中，往往需要根据 一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变 量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出 它们，这就是方程思想 2函数与方程是两个有着密切联系的数学概念， 它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知 识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法 来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方 程思想 综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方 程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理 解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高 学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。 参考文献 1 于浩中学数学创新教法M北京：学苑出版 社，2001 2 唐国庆高考数学高分策略M长沙：湖南教 育出版社。20058 51
