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1、1限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用(限时：50 分钟满分：84 分)1(满分 12分)如图，在 ABC中， ABC60， BAC90， AD是 BC上的高，沿AD把 ABD折起，使 BDC90.(1)证明：平面 ADB平面 BDC；(2)设 E为 BC的中点，求 AE 与 DB 夹角的余弦值2(满分 12分)(2013孝感模拟)如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PD平面 ABCD， PD AB2， E、 F、 G分别为 PC、 PD、 BC的中点(1)求证： PA EF；(2)求二面角 D FG E的余弦值3(满分 12分)如图，在正三棱柱 ABC A1B1
2、C1中，AB AA1，点 D是 A1B1的中点，点 E在 A1C1上且 DE AE.2(1)证明：平面 ADE平面 ACC1A1；(2)求直线 AD和平面 ABC1所成角的正弦值4(满分 12分)(2012江西高考)如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AB AC AA1 ， BC4，点 A1在底面5ABC的投影 是线段 BC的中点 O.(1)证明 在侧棱 AA1上存在一点 E，使得 OE平面 BB1C1C，并求出 AE的长；(2)求平面 A1B1C与平面 BB1C1C夹角的余弦值5(满分 12分)如图所示，在多面体 ABCD A1B1C1D1中，上，下两个底面 A1B1C1D1和
3、 ABCD互相平行， 且都是正方形， DD1 底面ABCD， AB2 A1B12 DD12 a.(1)求异面直线 AB1与 DD1所成角的余弦值；(2)已知 F是 AD的中点，求证： FB1平面 BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角 F CC1 B的余弦值26(满分 12分)(2013聊城模拟)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为菱形， BAD60， Q为 AD的中点(1)若 PA PD，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)设点 M在线段 PC上， ，求证： PA平面 MQB；PMMC 12(3)在(2)的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且 PA PD AD2，求
4、二面角 M BQ C的大小7(满分 12分)(2012福建高考)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AA1 AD1， E为 CD中点(1)求证： B1E AD1；(2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角 A B1E A1的大小为 30，求 AB的长答 案限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用1解：(1)证明：折起前 AD是 BC边上的高，当 ABD折起后， AD DC， AD DB，又 DB DC D， AD平面 BDC， AD平面 ABD，平面 ABD平面 BDC.(2)由 BDC 90及(1
5、)知 DA， DB， DC两两垂直，不妨设|DB|1，以 D为坐标原点，以 ， ， 的方向为 x， y， z轴的正方向建立如图所BDCA示的空间直角坐标系，易得 D(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0,3,0)， A(0,0， )， E ，3 (12， 32， 0) ， (1,0,0)，AE(12， 32， 3) 与 夹角的余弦值为 cos ， DBAEDB| 121224 .222232.解：(1)证明：以 D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则D(0,0,0)， A(0,2,0)， C(2,0,0)， P(0,0,2)， E(1,0，1)， F(0,0,1)，
6、G(2,1,0)(1) (0,2，2)， (1,0,0)，PEF 0，EF PA EF.(2)易知 (0,0,1)， (2,1，1)G设平面 DFG的法向量为 m( x1， y1， z1)，则Error! 即Error!令 x11，得 m(1,2,0)是平面 DFG的一个法向量同理可得 n(0,1,1)是平面 EFG的一个法向量，cos m， n ，mn|m|n| 252 105由图可知二面角 D FG E为钝角，二面角 D FG E的余弦值为 .1053解：(1)证明：由正三棱柱 ABC A1B1C1的性质知 AA1平面 A1B1C1，又 DE平面A1B1C1，所以 DE AA1.而 DE
7、AE， AA1 AE A，所以 DE平面 ACC1A1.又 DE平面 ADE，故平面 ADE平面ACC1A1.(2)如图所示，设 O是 AC的中点，以 O为原点建立空间直角坐标系不妨设 AA1 ，则 AB2，相关各点的坐标分别是2A(0，1,0)， B( ，0,0)， C1(0,1， )， D .3 2 (32， 12， 2)易知 ( ，1,0)， (0,2， )，3 A2 .D(32， 12， 2)设平面 ABC1的一个法向量为 n( x， y， z)，则有Error!解得 x y， z y.故可取 n(1， ， )33 2 3 6所以，cos n， .ADn|n| 23103 105由此即
8、知，直线 AD和平面 ABC1所成角的正弦值为 .1054解：(1)证明：连接 AO，在 AOA1中，作 OE AA1于点 E，因为 AA1 BB1，所以4OE BB1.因为 A1O平面 ABC，所以 A1O BC.因为 AB AC， OB OC，得 AO BC，所以 BC平面 AA1O，所以 BC OE，所以 OE平面BB1C1C，又 AO 1， AA1 ，AB2 BO2 5得 AE .AO2AA1 55(2)如图，分别以 OA， OB， OA1所在直线为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， B(0,2,0)， C(0，2，0)，A1(0,0,2)，由 得点 E的坐
9、标是 ，15 (45， 0， 25)由(1)得平面 BB1C1C的法向量是 ，OE(45， 0， 25)设平面 A1B1C的法向量 n( x， y， z)，由Error! 得Error!令 y1，得 x2， z1，即 n(2,1，1)，所以 cos ， n ，En| |n| 3010即平面 BB1C1C与平面 A1B1C的夹角的余弦值是 .30105.解：以 D为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x轴，y轴， z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则 A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)， C(0,2a,0)， D1(0,0， a)， F(a,0,0)， B1(a， a，
10、a)，C1(0， a， a)(1) ( a， a， a)， (0,0， a)，1A1|cos ， |1B| | | ，33所以异面直线 AB1与 DD1所成角的余弦值为 .33(2) ( a， a， a)， (2 a,0,0)， (0， a， a)，BBC1FBError! FB1 BB1，FB1 BC.5 BB1 BC B， FB1平面 BCC1B.(3)由(2)知， 为平面 BCC1B1的一个法向量F设 n( x1， y1， z1)为平面 FCC1的法向量， (0， a， a)， ( a,2a,0)，CCError! 得Error!令 y11，则 x12， z11， n(2,1,1)，co
11、s ， n ，1FBn|n| 33即二面角 F CC1 B的余弦值为 .336.解：(1)连接 BD，四边形 ABCD菱形， BAD60， ABD为正三角形，又 Q为 AD中点， AD BQ. PA PD， Q为 AD的中点，AD PQ，又 BQ PQ Q， AD平面 PQB， AD平面 PAD.平面 PQB平面 PAD.(2)连接 AC交 BQ于点 N，如图(1)：由 AQ BC可得， ANQ CNB， .AQBC ANNC 12又 ， 图(1)PMMC 12 .PMMC ANNC 12 PA MN. MN平面 MQB， PA平面 MQB， PA平面 MQB.(3)由 PA PD AD2，
12、Q为 AD的中点，则 PQ AD.又平面 PAD平面 ABCD， PQ平面 ABCD.6以 Q为坐标原点，分别以 QA、 QB、 QP所在的直线为 x， y， z轴，建立如图(2)所示的坐标系，则各点坐标为 A(1,0,0)， B(0， ，0)， Q(0,0,0)， P(0,0， )3 3设平面 MQB的法向量 n( x， y,1)，可得Error! 图(2) PA MN，Error! 解得 n( ，0,1)3取平面 ABCD的法向量 m(0,0,1)cos m， n .mn|m|n| 12故二面角 M BQ C的大小为 60.7.解：(1)证明：以 A为原点， ， ， 的方向分别BAD1为
13、x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设AB a，则 A(0,0,0)， D(0,1,0)， D1(0,1,1)，E ， B1(a，0,1)，故 ， (a2， 1， 0) 1A 0， 1， 1 BE， ( a,0,1)， .(a2， 1， 1) E(a2， 1， 0) 011(1)10，1ADEa2 B1E AD1.(2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0， z0)，使得 DP平面 B1AE，此时(0，1， z0)P又设平面 B1AE的法向量 n( x， y， z) n平面 B1AE， n ， n ，得Error!取 x1，则 y ， z a，得平1AEa2面 B1AE的一
14、个法向 量 n .(1， a2， a)要使 DP平面 B1AE，只要 n ，有 az00，解得 z0 .DPa2 12又 DP平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP .12(3)连接 A1D， B1C，由长方体 ABCD A1B1C1D1及 AA1 AD1，得 AD1 A1D. B1C A1D， AD1 B1C.又由(1)知 B1E AD1，且 B1C B1E B1， AD1平面 DCB1A1， 是平面 A1B1E的一个 法向量，此时 (0,1,1) AD7设 与 n所成的角为 ，1AD则 cos .n|n| a2 a2 1 a24 a2二面角 A B1E A1的大小为 30，|cos |cos 30，即 ，3a22 1 5a24 32解得 a2，即 AB的长为 2.
