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1、9.排列组合与概率、统计第一课时 排列组合、二项式定理问题 1：2008年奥运会在中国北京举办，若进行从北京经南京去上海的火炬接力，计划北京到南京有东路8 天，中路4 天，西路6 天三种走法，南京到上海有东路5 天，西路3 天两种走法，若总时间不超过 12 天，则共有多少种不同的走法？【答案】 1+22=5 共有5 种不同的走法.问题 2：2004 年高考结束后将有8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4 人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第 3、4名，大师赛共有几场比赛？变式 1某个装修公司有 13个工
2、人，其中 4 人只会当瓦工，5人只会当木工，2人只会当电工，还有 2 人既会当瓦工也会当木工 ，现在要从中选 3 人去干瓦工活，4 人去干木工活，1 人去干电工活，一共有多少种不同的选法？变式2从 7 名男同学和 6名女同学中选 4 人去参加一个会议，规定男、女同学至少各有 1 人参加，则不同的选法是（ ）种. 【解析】 B 多了最后一项.A、C 显然有重复.D 正确.【答案】 D【探究】 对于多项式的展开式虽然教材中没有出现，但是在试题中往往会出现，这是考查考生灵活应用公式的能力，在上述介绍的三种方法中，解法二实际上是扣住二项式的通项公式，但很麻烦；解法一和解法三是灵活地应用组合的概念，显得
3、思路清晰.案例 3（1）3名男同志和3 名女同志到 4 辆不同的公交车上服务，若每辆车上都需要人但 最多安排男女各一名，有多少种安 排方法？若男女各包 2 辆车，有多少种安 排方法？（2）从 6名运动员中选出 4 人参加 4100 接力.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？甲不能跑第一棒和第四 棒；甲不能跑第一 棒，乙不能 跑第四棒.【考查重点】 排列、组合中合理分类与准确分步法.【分析】 （1）先抓出标准，如首先安排男同志，后安排女同志.（2）先将男、女同志分组，然后再分到车上去.【探究】 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分
4、步层次清楚，不重不漏.（2）本题考查排列问题.【探究】 （1）问题中的三种 解法是处理有限制条件 的排列应用题的常用思考方法.是优先考虑特殊元素还是优先考虑特殊位置（称为“优限法” ），需靠对题情的把握以及解题经验的积累方能准确选择简捷的方案.一般地，是优先于位置还是优先于元素，常根据特殊元素或特殊位置的个数来确定；而去杂法是在正面考虑较复杂时采用的一种方法.思 维拓展解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础.事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题.这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“ 重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚 至不
5、容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧.解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题.其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答.同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解.下面介绍几种常用的解题技巧.1.特殊元素“优先安 排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例 1用0，2，3，4，5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24个B.30 个C.40 个D.60 个【分析】 由于该三位数为偶数，故末尾数字
6、必为偶数.又因为 0 不能排首位，故 0就是其中的“ 特殊” 元素，应 优先安排.按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分为两类：2.总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减.3.合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例2将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）A.120 种B.96 种C.78 种D.72 种【分析】 由题意，可先安排 a 列车，并按其进行分
7、类讨论：4.相邻问题“捆绑法 ”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑” 起来，看作一个“大”元素与其他元素排列，然 后再对相邻元素内部之 间再进行排列.例37 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？5.不相邻问题“ 插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可.例 4在例 3 中，若要求甲、乙、丙三人不相邻，则又有多少种不同的排法？6.等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，或者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这时
8、可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理.例5马路上有 12 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有_种.【分析】 关第一只灯的方法有 10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂.7.顺序固定问题用“ 除法” 或 “自动上位法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数.例 6由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（ ）A.210
9、个B.300 个C.464个D.600 个8.混合应用问题“ 先选后排法 ”对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法.例 74个不同小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_种.9.“小团体”问题“先整体后局部法”对于“小团体 ”排列问题，与 “相邻问题”相似，可先将小 团体看作一个元素与其余元素排列，最后再进行小团体内部的排列.例 87 人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好间隔2 人的站法有多少种？10.构造“隔板 ”模型法对较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个“隔板” 模型来帮助解决问题.例9方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？11.分排问题“ 直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理. 例107 个人坐两排座位，第一排坐 3 个人，第二排坐 4个人，则不同的坐法有_种.
