2014高中数学 134等比数列的前n项和(二)教案 北师大版必修5

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1、1第十一课时 1.3.4 等比数列的前 n 项和(二)一、教学目标 1、知识与技能:用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一;用等比数列前 n 项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题; 将等比数列前 n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。2、过程与方法:采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会;进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练。3、情感态度与价值观:通过数学本身知识的演绎推理和运算,提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力;在独立思考、合

2、作交流、自主探究中提高解题技能;在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会,形成科学的世界观和价值观.二、教学重点 求数列前 n 项和知识的灵活运用。运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题。教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题.三、教学方法:探究归纳,讲练结合四、教学过程(一) 、导入新课师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗?生 根据自己所知道的,说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解)师 出示投影胶片 1:银行关于教育储蓄的管理办法(节选)管理办法第七条教育储蓄为零存整取定期储蓄

3、存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为 50 元,本金合计最高限额为 2 万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额,分月存入,中途如有漏存,应在次月补齐,未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理.第八条教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息;六年 期按开户日五年 期整存整取定期储蓄存款利率计息.第十一条教育储蓄逾期支取,其超过原定存期的部分,按支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.第十二条教育储蓄提前支取时必须全额支取,提前支取时,储户能提供“证明”的,2按实际存期和开户日同期同档次整存整取

4、定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税;储户未能提供“证明”的,按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.师 着重引导学生注意关键的内容.生 理解文件中的内容.师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题,其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容.(二) 、推进新课例题剖析师 出示投影胶片 2:课本第 70 页 B 组题第 4 题:例 1 思考以下问题:(1)依教育储蓄的方式,每月存 50 元,连续存 3 年,到期(3 年)或6 年时一次可支取本息共多少元?(2)依教育储蓄的方式,每月存 a 元,连续存 3

5、 年,到期(3 年)或 6 年时一次可支取本息共多少元?(3)依教育储蓄的方式,每月存 50 元,连续存3 年,到期(3 年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元?(4)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元,每月应存入多少元?(5)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元,每月应存入多少元?(6)依教育储蓄方式,原打算每月存 100 元,连续存 6 年,可是到了 4 年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?(7)依教育储蓄方式,原打算每月存 a 元,连续存 6 年,可是到了 b 年时,学生需要提 前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?(8)不

6、用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存 100 元,6 年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较.合作探究师 要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的:若每月固定存 a 元,连续存 n 个月,则计算利息的公式为 月利率.2)1(na师 你能解释这个公式的含义吗?生 独立思考、合作交流、自主探究.师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为 q, 则这个公式实际上是数列:aq,2aq,3aq,naq,的前 n 项和. 这个数列的项不正是依次月数的利息数? 这个数列具有什么特征呢?生 发现等差

7、关系.3师 用我们的数学语言来说,这是个首项为 aq,公差为 aq 的等差数列,而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道,银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息利滚利)计算的. 我们把这样的计算利息的方法叫做按 单利(利不生息利不滚利)计算.这是我们在计算时必须弄明白的,否则,我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率,以及三年期零存整取的存款利率和利息税率:三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%;五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为 0.232 5%;三年期零存整取存款年利率为 1.8

8、9%,月利率为 0.157 5%;利息税率为 20%.师 下面我们来看第一个问题的结果.生 计算,报告结果.师 生共同解答:(1)解:因为三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%,故依教育储蓄的方式,每月存 50 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共0.21%+1 8001 869.93(元).26)50(因为五年整存整取存款年利率为 2.79%,月利率为 0.232 5%,故依教育储蓄的方式,若每月存入每月存 50 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共0.232 5%+3 6003 9 05.50(元).27)50(2)每月存入每月存 a 元,连续存 3 年,到期

9、一次可支取本息共0.21%+36a(元).36)(a若每月存入每月存 a 元,连续存 6 年,到期一次可支取本息共0.232 5%+72a(元).27)(3)因为三年期零存整取存款年利率为 1.89%,月利率为 0.157 5%,故每月存 50 元,连续存 3 年,到期一次可支取本息共0.157 5%80%+1 800=1 841.96(元).26)50(比教育储蓄的方式少收益 27.97(元).(4)设每月应存入 x元,由教育储蓄的 计算公式得40.21%+36x10 000.236)(x解得 x267.39(元),即每月应存入 267.39(元).(5)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计

10、算公式得0.21%+36x10 000 a.236(解得 x= =267.39a,即每月应存入 267.39a(元).98.710(6)根据银行出台的教育储蓄管理办法 ,需要提前支取的,在提供证明的情况下,按实际存期和开户 日 同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时,应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%进行计算.由计算公式得0.21%+4 8005 046.96(元).248)10(7)与第 6 小题类似,应根据实际存期进行同档次计算.一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为 1.98%,月利率为0.

11、165% ,故当 b=1 或 2 时,由计算公式得0.165%+12ab(元).21)(a当 b=3 或 4 或 5 时,应按照三年期整存整取存款年利率为 2.52%,月利率为 0.21%进行计算.根据计算公式得0.21%+12ab(元).21)(ba(8)此题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案.概括总结师 在我们上述探究问题的过程中,我们学到了许多课本上没有的东西,增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划,并与家长商量,看能不能付诸于现实;我们也可以为身边的亲朋

12、好友当个小参谋,把你学到的知识讲解给他们听一听,看他们能不能接受你的意见和建议. 从生产实际和社会生活中,我们还能寻找到更多的探究题材,只要我们做个有心人,我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来. 说明:此例文字量大,阅读理解能力要求较高,但是弄通问题的基本含义后,因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥,计算量也不大,所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想,这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.5师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.出示投影胶片 3:例 2你能估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、 y 轴围成的区域的面积吗?出示多媒体图

13、片 1:师 如图,为了估计函数 y=9-x2在第一象限的图象与 x 轴、 y 轴围成的区域的面积 x,把 x轴上的区间0,3分成 n 等份.从各分点作 y 轴平行线与图象相交,再从各交点向左作 x轴平行线,构成( n-1)个矩形.下面用程序来计算这( n-1)个矩形的面积的和 S.SUM=0K=1INPUT 请输入将0,3分成的份数 n:”; NWHILE k= N-1AN=(9-( k*3/n)2)*3/NSUM=SUM=ANPRINT k,AN,SUMK=k=1WENDEND阅读程序,回答下列问题:(1)程序中的 AN,SUM 分别表示什么,为什么?(2)请根据程序分别计算当 n6,11,

14、16 时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序). 师 你能回答第一个问题吗?生 AN 表示第个矩形的面积,SUM 表示前个矩形面积的和.生 当把 x 轴上的区间0,3分成 n 等份时,各等份的长都是 .n3理由是:各分点的横坐标分别是 , , .32)1(从各分点作 y 轴平行线与 y=9-x2图象相交,交点的纵坐标分别是6, , .2)3(9n2)(2)1(39n它们分别是各个相应矩形的高,所以各个矩形面积分别是, , .)(2)(2n3)1(32师 对学生的思考给予高度的赞扬.师 当我们把 x 轴上的区间0,3分成 n 等份时,按照上面的作图方法,我们得到了函数y=9-x2在第一象

15、限的图象与 x 轴、 y 轴围成的区域内的 n-1 个矩形.师 想一想,这个由各个矩形面积组成的数列的前 n-1 项和如何求.生 自主探究. 列式:nnnSn 3)1(39.)23(9)3(9 221 = )(.)()( 222= .)1(.1)3(9322nnn师 引导学生整理所列出的式子,得到上述最后一道式子.师 求和时遇到了 12+22+n2的计算问题,这也是一个求数列前 n 项和的问题. 关于这个问题,我们只要求大家知道,这是求数列:1 2,22,32,n2,的前 n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列,也不是等比数列,因此不能用已经推导出来的等差数列前 n 项和公式与等比数列前 n 项和公式.而这个和的计算,要求同学们记得它的计算公式. 即要求记住:12+22+n2= . 关于这个公式的推导过程,我们可以作为知识拓展的材料,6)1(放在课外进行探究性学习.师 运用这个公式,请把上面的 n-1 个矩形面积的和计算出来.生 继续运算.S n-1= 9(n-1)-( )21 2+22+(n-1)2= 9( n-1)-( )23333= .6)12(n2)4(9师 明确一

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