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1、1信号及其描述习题1.1 求周期方波（图 1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式） 。画出频谱图|C n| ； n 图并与表 1-1 对比。解：傅立叶级数的复指数形式表达式： ,321,0;)(0eCtxntjn式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。1.2 求正弦信号 x(t)=x0sint 的绝对均值 |x |和均方根值 x rms解：1.3 求指数函数 的频谱。解：1.4 求符号函数（题图 1-1a）和单位阶跃函数（题图 1-1b）的频谱. ,64,2;0531cos11)(1)( 2000200 2002200 000nAj nAjej
2、neTT dtAedtdtetxCjnj Ttjntjn jnTjTjnn ,7,;)(0ejtxtjn,531;22nACnIRn ,531;20narctgrctnRIn 2;2sin1)lim0000 TtdTdtTx 式 中 ：2i)( 00202 xtxtxTTrs );)(tAettfjAdteAdxfXfjtftj 2022 2解:1) 符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5 求被截断的余弦函数 cos0t（题图 1-2）的傅立叶变换。解：1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b）： 的频谱解：1.7 设有一时间函数 f(t)及其频谱(题图 1-3 所示)，现乘以
3、余弦型振荡 cos0t ，( 0m)。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦型振荡 cos0t 叫做载波。试求调幅信号 f(t)cos0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 0m 时将会出现什么情况？解：fj dtedtetxfXet fjtfjtftjt1)(lim)(;)(li 0220110 fjdtedtetxfXtx fjtfjt 21lim)()(;li 02220 Tttx;0cos)(210022 20sinsi )(i)(i1cos)(00cTTfTfdteetfxfXfjtfjtfjTTfjftj )0,(;sin)(0ttetxt )(21212i
4、)()(0022002 fjfj dteej tfdttxfXfjtfjtfjt fjtfj )2(1)2(12cos)()()(00220200fFfFdteetf tftfdtxXfjtfjtfj fjfj 3当 0m 时，将会出现频率混叠现象1.8 求正弦信号 x(t)=x0sin（ 0t+）的均值 x 和均方值 x2 和概率密度函数 p(x)解：将 x(t)=x0sin（ 0t+）写成（ 0t+）=arcsin(x (t)/ x0)等式两边对 x 求导数：2.2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s，2s，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？解： XYjjH
5、135.01227. A当 T=1s 时， ，即 ，误差为 59%41.0xYA41.0当 T=2s 时， ，误差为 33%62A当 T=5s 时， ，误差为 8%9.32.3 求周期信号 ，通过传递函数为4510cos.cs5.0tttx的装置后所得到的稳态响应。1.sH解： 利用叠加原理及频率保持性解题4510sin2.90in5.0tttx，22.1A 05.arctg， ，0861)(1)(1202000 txxtdt )(12limlili)(2000txdxtTTtpxTx 4，86.2901sin5.01 ttx， ，2.2A57. 4.si8.tty 43.180sin)18(
6、.710n5tt2.7 将信号 输入一个传递函数为 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程tcos2sH在内的输出 的表达式。y解： 90sinctttx， ，1sH21Aarctgrttty90sin2= actgo122.8 求频率响应函数 的系统对正弦输入2176530. jj的稳态响应的均值显示。ttx8.62sin10解： 写成标准形式221nnjjjaH21561560.2 jj 15736268.0.8612A7.9.对正弦波， 120Aux52.9 试求传递函数分别为 和 的两个环节串联后组224.15nnS24.1nnS成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）解： 21H，1735.0
7、.31S，2224.nS413212.10 想用一个一阶系统作 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解： 由振幅误差%51| 00 AAEII %95即 ，9512，.02ts41023.当 ，且 时15f 4.5%7.98023.124A 此时振幅误差 3.1.1E .9.54arctg2.11 某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为 800Hz，阻尼比，问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时，其振幅比 和相角差14.0 A各为多少？若该装置的阻
8、尼比可改为 ，问 和 又将作何种变化？7.0解： 作频率为 400Hz 的正弦力测试时62241nnA2228041.80413.21nnarctg28041.arctg6.当阻尼比改为 时797.0847.080411222A43801.22arctg即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。2.12 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5 的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为 6.28s。设已知该装置的静态增益为 3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。解： 最大超调量5.121eM7即
9、13.05.1ln2且 8.6dT 12.1n0.3.2系统的传递函数12nSksXYH10.321.S该装置在无阻尼固有频率处的频率响应由 12nnjjKXYjHnnj21 jjKjHnn26.032为有阻尼固有频率dM=0.5， 12T215.0ln212 MeM8， 21nd 02.1dnS=3 SSsHn22304.1.2（ 时代入得）98642nAn0,12arctgn0.1si98.6tty4.1 解 ：=2m 时，单臂， 04URy0Sgy)(103*12466VUy 双臂， 0Ry02USgy)(163*10VUy ：=2000m 时，9单臂， 04URy0Sgy )(103*
10、1246VUy 双臂， 0Ry02USgy)(163*103VUy 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。4.4 解： 0Ry0USgy tEtBtAgy 10sin)co1s( )290()290()210()210(41)( )sin1(sin2)9sinsin210co ffffBEjS ffffAjfU ttSttS tEggy gg g4.5 解： )(cos3cos3( tttxa )10cos5(cs10)0(15201 232ttttt 10)850()850()150()150()950()950(.7 .7)1) ffffff ffXa 4.10 解： 3sRCssH10)(3j)
11、0()()( 32A1arctnarctn)4510si(7. )4510sin(7.)()0 0t tUy 4.11 解： 2)()(A)arctn()(56.2)10.arctn()10( 85时 ， 69.78)105.arctn()10( 4A时 ， ).3cos(86.)5.26cos(408. ).45(4.25)( tt tty5.1 2)()(020)(edtedthRtx;0)0,()(tett115.2 )2sin()2sin()( 211 tAtAtx由同频相关，不同频不相关得： 212coscs)(1Rx5.3：由图可写出方波的基波为 )2sin(4)(1ttx)2cos()(xy5.4: fSHfSx)(/)(xyxyRFfTjxyxyx eRFTS )()()()( TjefH5.5:见图 5-165.6:由自相关函数的性质可知 :ARx0cos)(2rms25.7:由对称性性质:f 1)(in2tcF2f22)(sidft
