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1、第26卷第3期 2014年3月 计算机辅助设计与图形学学报 Journal of ComputerAided Design&Computer Graphics Vo126 No3 Mar2014 7次PH曲线的控制多边形的几何性质 杨 平，汪国昭 (浙江大学数学系 杭州 310027) (yangpingziugmailcorn) 摘 要：基于PH曲线的定义以及平面曲线的复数表示，探讨了7次B6zier曲线是PH曲线的充要条件根据速端 曲线的2个分量的最大公因式的次数，7次PH曲线被自然地分类4类；针对每一类7次PH曲线，分别用控制多边 形的几何量表出了它们的几何性质此外，为了避免引入坐标系，
2、提出一种降阶的算法，利用控制多边形的几何量来 求解速端曲线的2个分量的最大公因式 关键词：PH曲线；控制多边形；几何性质；最大公因式 中图法分类号：TP3917 Geometric Properties of Control Polygon of Septic PH Curve Yang Ping and Wang Guozhao (Department of Mathematics，Zhejiang University，Hangzhou 310027) Abstract：Based on the definition of PH curve and complex representati
3、on of planar curve，the sufficient and necessary conditions for septic B6zier curve are explored to possess Pythagorean HodographSeptic PH curves are divided into four categories on the basis of the degree of greatest common divisor of two components of their hodographConcerning each type of septic P
4、H curves， their geometric properties are expressed in terms of geometric magnitudes of control polygonBesides， in order to avoid introducing coordinate system，an order reduction method is proposed to compute the greatest common divisor of hodograph using geometric magnitudes of control polygon Key w
5、ords：septic PH curve；control polygon；geometric property；greatest common divisor 作为一类特殊的平面多项式参数曲线， PythagoreanHodograph(PH)曲线在CAD领域得 到了广泛的应用；其弧长函数是原参数的多项式函 数，并且其等距曲线可以表示为有理曲线的形式这 些特性在CAD以及CAM领域有着极其重要的意 义，并使PH曲线被应用于数控加工、路径规划、形 位公差学等众多方面 1990年，Farouki等 把平面多项式曲线的 offset表达式中分母根号内为完全平方的一类参数 曲线命名为PH曲线，开创了精
6、确有理表示的先河 在之后的二三十年内，在这一定义的基础之上，大量 基于PH曲线的文献对PH曲线进行了理论分析与 应用性研究：例如PH曲线形状分析 ，Hermite 插值Is-a以及平面曲线的构造与逼近l9。 等尽管 PH曲线已经得到了广泛的应用，但基于PH曲线 的几何特征的研究却进展缓慢在给出PH曲线的 基本定义的同时，Farouki等口 还给出了3次PH曲 线的直观的几何性质；并利用控制多边形的边长与 角度给出了5次本原PH曲线的几何性质_】 2005 年，雍俊海等E6在Hermite插值的基础之上，亦对5 次本原PH曲线的几何性质进行了一定的探讨在 此之后，Wang等l_1 在2009年系
7、统地全面地论述了 4次PH曲线的几何性质，并构造了基于4次PH 曲线的Hermite插值曲线然而随着PH曲线阶数 的升高，PH曲线的控制多边形变得越来越复杂到 目前为止，这3类PH曲线的控制多边形的几何性 收稿Et期：20130114；修回日期：2013-07 01基金项目：国家自然科学基金(60933008，61272300)杨平(1986)，男，博士，主要研究 方向为计算机辅助几何设计、计算机图形学；汪国昭(1944)，男，教授，博士生导师，主要研究方向为计算机辅助几何设计、计算机图形学 第3期 杨平，等：7次PH曲线的控制多边形的几何性质 379 质均得到了较为系统的论证，但就基于PH曲
8、线的 G Hermite插值而言，7次是最低的次数要求 因 此，尽管7次PH曲线较为复杂，探讨其控制多边形 的几何性质仍然是有实际意义的 本文基于PH曲线的基本定义和平面曲线的复 数表示，给出7次PH曲线的几何性质7次PH曲 线的次数过高给研究带来极大困难，我们依据其速 端曲线的2个分量的最大公因式的次数予以分类， 并基于Bfzier曲线的基本定义提出了降阶算法该 算法利用控制多边形的几何量求解速端曲线的2个 分量的最大公因式；之后，基于复数的几何意义，利 用控制多边形的几何量分别将每一类PH曲线的几 何性质予以表出 1预备知识 阶B6zier曲线可由控制多边形P ：。以及 Bernstein
9、基表出，即 ()一 (t)Pi，0 1 J=0 令P 一PJP + 一P，+ 一PJ为控制多边形的有 向边，则其速端曲线亦可表示为Bernstein基的形式 一l p ()一 B (t)AP ，0t1 =0 在复平面内，向量P P的复数表示可记为 z，一L ei ，其中 E(一丌，丌，k E Z于是速端 n-1 曲线在复平面内可表示为 (f)一 ( ) ， O 0t1 令n一7，则7次PH曲线的速端曲线的表达式为 6 ( )一7 ()z ，0tl (1) J 0 在复平面内，Wang等_】胡给出平面曲线是PH 曲线的充要条件 引理1复多项式参数曲线P( )是PH曲线的 充要条件为存在3个实多项
10、式叫()， ()， ( )使得 ()一训()(“(f)+i () (2) 本文主要探讨7次PH曲线的相关性质由引 理l可知，7次B6zier曲线是PH曲线的充要条件 为在复平面内存在3个实多项式叫( )， ( )， (f)使 得等式(1)定义的速端曲线满足等式(2)若实多项 式“( )和 ()互素，则叫( )即为速端曲线的第一分 量与第二分量的最大公因式，即为实部与虚部的最 大公因式因7次PH曲线的速端曲线为6次多项 式，故7次PH曲线可由最大公因式硼( )次数的不 同，自然地分为4类： 1)deg(w(t)一0，deg(“()+iv( )一3； 2)deg(叫( )一2，deg( ()+iv
11、()一2； 3)deg(w(t)一4，deg(“( )+iv(t)一1； 4)deg(w()一6，deg(“( )+iv( )一0 如此一来，首要的问题便是如何求解速端曲线 的2个分量的最大公因式，本文提出降阶算法来解 决此问题 在进一步讨论之前，首先介绍一下有向角的概 念如图1所示，从向量OA到OB的有向角记为 (OA，OB)，其等于向量OA到OB的旋转角若进 行顺时针旋转，则有向角为正；否则为负令 (Oa， OB)(一7c，7r，若存在 Z使得2个有向角 和 满足 一 +2 7c，则认为2个角度相等 D 图1 吱(OA，OB)表示的是向量OA到OB的有向角 2 7次PH曲线的分类 7次PH
12、曲线的分类是依据其速端曲线2个分 量的最大公因式进行的，因此在探讨各类7次PH 曲线的控制多边形之前，需要对速端曲线的2个分 量的最大公因式进行分析求解对于任意给定的坐 标系，速端曲线P ( )的表达式可精确表出利用辗 转相除法便可求得2个多项式的最大公因式然而， 尽管速端曲线P ( )的表达式随着坐标系的改变而 改变，它的2个分量的最大公因式却保持不变因控 制多边形的几何量亦与坐标系的选取无关，故速端 曲线的2个分量的最大公因式可由控制多边形的几 何量表出此结论是成立的，于是可避免引入坐标 系，而直接求解速端曲线2个分量的最大公因式 引理2给定多边形P 一。，其首末2个向量 P P 和P一
13、P不平行构造2个向量P枷P 和P一1P 使得 P ，。P士 llP ，。P ， I， (P ，。P ，P ，。P )一一号 (3) P P 一l P ， P ， l， (P_1P， ek )一一号 若多边形P 一 ， 满足 38O 计算机辅助设计与图形学学报 第26卷 en-1,jP y1-1 + 一( 打(P ，。P士 P + P州+z)， = = (P P一十 。P”， 一 P ”) (4) 其中，J一0，1， 一2，则这2个多边形P ) 。和 P 一 ) 三 定义的Bzier曲线的速端曲线满足最大 公因式相同，即 gcd(p一1(f) ， ： ()2)一gcd(p：( )1，P：()2)
14、 (5) 证明显然，控制多边形P ：。定义的B6zier 曲线的速端曲线的2个分量的最大公因式与坐标系 的选取无关取任意坐标系，则等式(3)等价于 fP ，。P 1一(一(P ，0P )2，(P ，0P )1) 【P ， 一 P士 一(P ， 一 P ， )2，一(P ， 一1P ， )1) 其中() ，()。分别指代向量在坐标系中的第一 分量与第二分量 基于等式(4)，由新的控制多边形P 定 义的Bzier的速端曲线可表示为 ， n-2 ， )一(一1) (卜 十 南 (P棚P士】P + P +2)，( 1)(1一z) 一 一，ti J=0 (P P +1P ， 1P士 )； 一11 由内积
15、的定理可得P P P P 一P P P P一0于是，新的速端曲线p：一 ( )可化简为 户： ( )一( B ( )(P ，。P P P ，升 )， j=0 nB 一 ()(P P + P ， P ) (6) J；0 同时，等式 B (t)AP 恰是初始多边形 J=0 P 一。定义的Bzier曲线的速端曲线，记作P：() 于是，等式(6)可扩展为 f( ：一l()1一一(户：() (PP )2+ l (p ()2(P棚P )1 ( ： ()2一(p：(f) (P一1P)2一 l (P ( )2(P一1P)l 由向量P ， 和P一 P不平行可知，向量 P P 和P一 P 亦不平行；于是，等式(5)显然 成立 证毕 由内积的几何性质可知，式(4)定义的多边形 P ， 三 的所有边与坐标系的选取无关，其仅由 初始多边形P ：。的几何量唯一确定在多边形 ， ) ：o上，若记有向角 ， 一 ( 厂 ， P + )， J一1， 一1，则式(4)等价于 P 一 ，JP 一 ， 一( l P ，。P ， Il P + P +z 1 J+1 sin( ， )，南l + 1 1 P一 P l sin(0) (7) l=J+1 其中，J一0，1， 一2 由式(7)可知，利用初始多边形的几何量可构造 出边数小1的新
