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1、2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛
2、章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 13289002 所属学校（请填写完整的全名）： 湖北职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 罗周希 2. 金超 3. 李婉丽 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013 高教社杯全国大学生
3、数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1古塔变形的数学模型摘要古塔被誉为中国古代杰出的高层建筑物，历史悠久，值得并需要我们的保护。本文研究了关于古塔变形的问题，古塔的变形与塔身的中心紧密相关，具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势。对于问题 1，建立中心位置模型，采用多边形组合形心的算法，求的结果是表 6，7，8，9 中的数据；在问题 2-1 中，研究塔身的倾斜建立了古塔自身倾斜角的模型和古塔相对倾斜角模型两个数学
4、模型，模型 2-1.1 利用三角函数相关知识确定倾斜角，结果是 1986 年的塔身倾斜了 1.5308，1996 年的塔身倾斜了 1.5558，2009 年的塔身倾斜了 1.5564，2011 年的塔身倾斜了 1.5339；模型 2-1.2 对各年份各层的中心点数据进行空间直线拟合，采用空间向量法计算两直线的夹角，结果是古塔 1996 年相对于 1986 年倾斜了 0.049，2009 年相对于 1996 年未发生倾斜，2011 年相对于 2009 年倾斜了 0.0245。在问题 2-2 中，研究塔身的弯曲建立古塔弯曲的数学模型，采用三次多项式拟合的算法，得到了古塔每年每层的弯曲率。在问题 2
5、-3 中，研究塔身的扭曲建立古塔扭曲的数学模型，采用两点之间的距离公式和扭曲加权法，得出 1996 年总扭曲距离 11.9399,2009 年总扭曲距离 8.4095 ，2011 年总扭曲距离为 3.8508。在问题 3 中，采用层次分析法建立古塔变形趋势的数学模型，对古塔的变形程度和趋势做出综合量化评价，分析得到塔楼变形的趋势为从 1986 年到1996 年变形程度加深，所以塔楼变形的趋势为从 1996 年到 2009 年变形程度减轻，从 2009 年到 2011 年变形程度稍有加深。关键词： 组合图形的形心 拟合 中心变形曲线 层次分析法 扭曲加权2一 问题重述古塔由于长时间承受自重、气温
6、、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。现有一古塔已上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请根据题目提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、问题分析塔的变形趋势与塔身的中心有关，因此本题的主要目标是计算出塔中心的变化规律。研究
7、题中数据发现 x 轴坐标值逐渐偏大，y 轴坐标值逐渐偏小，z 轴坐标值逐渐偏小，可以由此联想到塔正向着 x 轴偏大的方向、y 轴偏小的方向倾斜，且下沉。说明 x 轴与 y 轴决定倾斜方向；z 轴和 y 轴数值变化越大，倾斜程度越大，反之则越小。因此在求解层面中心点的 z 坐标点取八个点 z 值的平均。问题 1 属于计算多边形组合形心的数学问题。因为 1986 年受自然、社会影响度较小，最接近古塔的原始图样，所以图形较为有参考价值，用 MATLAB 画出1986 年塔身的大致图样为八边形（图 1-1） ，3图 1-1通过假设得出正多边形的形心就是中心，因此可运用组合图形形心公式计算出古塔各层中心
8、坐标。问题 2-0 塔的倾斜、弯曲、扭曲都与塔的中心有关。从数据点上看，四年13 组中心点的数据大致分布在空间的一个平面上（1986 年图 2-0-1，1996 年图2-0-2，2009 年图 2-0-3， 2011 年图 2-0-4） ，所以用空间直线的最小二乘法来拟合中心线。4图 2-0-1 图 2-0-2图 2-0-3 图 2-0-4问题 2-1 塔的倾斜程度用倾斜角 W 表示，塔身拟合后的中心线与地面的夹角为倾斜角（图 2-1-1） 。图 2-1-1 5问题 2-1.1 塔自身倾斜情况。观察图 2-1-1 得到 RtOPQ，利用三角形正切公式确定自身倾斜角 W。1986、1996 年题
9、目分别给有 4 组塔尖坐标，分析数据结合实际生活我们将 4 组数据求平均值，得到 1 组数据用于计算塔的倾斜角W。问题 2-1.2 年份的相对倾斜角W 可表现塔倾斜幅度。两直线的方向向量的夹角（小于 90O）叫做直线的夹角，现古塔的倾斜度一定小于 90O，所以各年份中心线夹角可转化为两直线的方向向量的夹角，将每年各层中心和塔尖的数据用空间直线的最小二乘法进行拟合成中心线。用法向量法得到各中心直线的方向向量，利用两向量的夹角的余弦公式确定相对倾斜角。 问题 2-2 塔的弯曲与空间直角坐标系的 z 轴有关。以塔第一层楼面的中心为原点建立空间直角坐标系，拟合各年各层中心点竖坐标的直线，多次拟合后发现
10、三次多项式的拟合效果较好（附录图 2-2-1，图 2-2-2，图 2-2-3） ，问题 2-3 塔的扭曲在空间直角坐标系中的 x,y 轴有关。扭曲是相邻年份相对的物理量，以每层中心点偏移的平面距离作为扭曲距离，并用层次分析法对各层的扭曲距离赋予权重，得到总扭曲距离来衡量不同年份古塔的扭曲程度问题 3 运用层次分析法对古塔的变形程度做综合量化评价，并根据组合权向量对古塔变形趋势做出大致分析。3、模型假设1，参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形；2，假设古塔是均质物体，形心就是中心； 3，以地平面为 X 轴，建立空间直角坐标系 X，Y，Z；4，假设塔尖面积极小，近视为一个点；5，假设模型
11、4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件；6，假设古塔所在的地平面是水平面。4符号说明Ci-第 i 个三角形的形心（i=1,2,6） ；Si-第 i 个三角形的面积（单位：m 2)（i=1,2,6） ；Ai-第 i 个三角形的形心坐标（单位：m） ；Wt-第 t 年塔身的倾斜角(t=1986,1996,2009,2011)；Dt-第 t 年塔身在地面上的水平投影(t=1986,1996,2009,2011)；Ht-第 t 年塔上部与下部的相对位移(t=1986,1996,2009,2011)；Lt-第 t 年塔的拟合直线(t=1986,1996,2009,2011)；R-塔的倾斜率；mt-第 t
12、 年中心直线 x 轴的法向量(t=1986,1996,2009,2011)；6nt-第 t 年中心直线 y 轴的法向量(t=1986,1996,2009,2011)；Jt-第 t 年的中心直线方向向量(t=1986,1996,2009,2011)；K-塔的曲率；5模型的建立与求解5.1、模型的准备（1）给数据用图像形式表现出来题目所给的 4 次观测数据 1986 年、1996 年塔13 层的第五个点数据残缺。参照其 10 层、11 层、12 层的数据知道第五个点的数值在第四个点和第六个点的数值之间，另外分析后发现这两组数据对题目结果的影响不大。因此结合实际和理论，采取取相邻年份该层的第四个点和
13、第六个点的平均值将两组数据补齐。（2）用 MATLAB 软件将题中所给数据及补充的数据画图表现出来。5.2 问题 1 中心位置模型问题一求古塔各层中心坐标，通过假设知道实质就是计算正多边形的中心，运用组合图形求形心的方法。将每层正八边形的塔面都分为六个三角形（图1-2）S 1、S 2、S 3、S 4、S 5、S 6，7图5-1-2每年各层六个三角形的形心：C1( ， )、382xx3821yyC2( , )、882C3( , )、84xx384yyC4( , )、87 874C5( , )、367xx3674yyC6( , )， 564 5代入测量数据，运行 MATLAB 软件得出：1986年
14、各层分面积的形心塔层 坐标(m)A1 A2 A3 A4 A5 A61 565.6707，526.9707 564.3160，524.7823 565.1133，523.6693 567.8320，525.6177 570.8977，523.7220 570.3780，520.40572 565.7107，526.7563 564.4383，524.6417 565.2177，523.5770 567.8177，525.4710 570.7933，523.6700 570.3203，520.47733 565.7503，526.5460 564.5587，524.5040 565.3203，52
15、3.4870 567.8037，525.3273 567.6070，524.0603 567.1797，520.98904 565.7813，526.3787 564.6540，524.3940 565.4017，523.4147 567.7920，525.2127 570.6087，523.5783 570.2180，520.60375 565.8150，526.1987 564.7567，524.2760 565.4893，523.3370 567.7800，525.0893 570.5210，523.5347 570.1693，520.66406 565.8483，526.0230 564.8583，524.1610 565.5757，523.2620 567.2693，524.9697 570.4320，523.4920 570.1233，520.721787 565.9323，525.80
